Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Элементарные функции комплексного переменного.
Элементарные функции комплексного переменного являются естественным распространением на комплексную плоскость элементарных функций действительного переменного. Однако все эти функции в комплексной области требуют своего определения и обладают некоторыми своеобразными свойствами. Степенная функция. Определение этой функции введем в соответствии с действиями возведения в натуральную степень комплексного числа и извлечения корня из комплексного числа, рассмотренными выше. Случай, когда – целое отрицательное число, не рассматриваем. На основании формулы Муавра степенной функции можно придать следующий вид
Степенной функции с дробным показателем можно придать следующий вид ,где Отметим, что функция является многозначной. 2. Показательная функция. Запишем известные разложения функций в степенной ряд для действительных значений x.
Разложим в ряд функцию , пользуясь формально разложением .
Применяя свойства степеней числа , получим , или
Видим, что в первой скобке получилось разложение в степенной ряд, а во второй – разложение . Полученному результату можно придать следующий вид: . Эта формула называется формулой Эйлера. Применим формально формулу Эйлера к функции . , т. е. . Полученная формула принимается за определение показательной функции в комплексной области. Важно отметить, что при таком определении показательной функции остаются справедливыми известные правила умножения, деления, возведения в степень. Однако приобретается новое свойство периодичности. Действительно, . Из последнего следует, что показательная функция на комплексной плоскости является периодической с периодом , так как . Формула Эйлера позволяет любое комплексное число записать в показательной форме . Пример 1.Доказать справедливость равенства . Решение. Пример 2. Найти действительную и мнимую часть функции . Решение. Действительная часть данной функции , мнимая часть – .
Тригонометрические функции. Если формально применить формулу Эйлера к функциям и , т.е. заменить в ней на и , то получим Из этих равенств выразим и . , .
Полученные формулы тоже называются формулами Эйлера. Правые части этих формул при комплексных значениях z принимают за определения функций и в комплексной области; и определяются по формулам
Отметим, что многие свойства тригонометрических функций, в частности все тождественные равенства, справедливы для комплексных значений . Отметим также, что некоторые свойства не распространяются на комплексную плоскость. Например, и могут принимать значения, большие единицы. Например, . Если учесть, что , то .
Гиперболические функции. В преобразованиях различных выражений, содержащих показательные функции, и во многих практических приложениях применяются так называемые гиперболические функции Приведем их определение. Гиперболический синус Гиперболический косинус Гиперболический тангенс Гиперболический котангенс Часто гиперболические функции удобно выражать через тригонометрические функции и наоборот.
5. Логарифмическая функция. Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной. Число называется логарифмом числа , если и обозначается Обозначим Тогда . Запишем число в тригонометрической форме Два комплексных числа равны, если их модули равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное Следовательно, , где – любое целое число. В результате получим: . Пример. Найти . Решение. Найдем модуль и аргумент числа
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 41; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.23.63.252 (0.012 с.) |