Модель процесса обучения как цепь Маркова

На рисунке 1.1 представлена цепь Маркова, моделирующая процесс прохождения обучаемым фрагмента некоторого учебного курса и содержащая десять узлов, соответствующих различным шагам процесса обучения.

В модели на рисунке 1.1 выделены следующие состояния: S ₁ – изучение первого раздела (модуля) теоретического материала; S ₂, S ₃ – ответы на вопросы по первому разделу; S ₄ – изучение материала второго раздела (по этому разделу не предусмотрен контроль); S ₅ - изучение теоретического материала третьего раздела; S ₆ – S ₉ - ответы на вопросы по третьему разделу; S ₁₀ – завершение изучения третьего раздела. Из рисунка видно, что состояния S ₁ – S ₉ относятся к множеству невозвратных состояний, S ₁₀ - поглощающее состояние.

 

Заданы оценки трудоемкостей прохождения каждого узла:

 час,       час,     час,      час,

 час,  час.

Матрица вероятностей переходов  имеет вид:

 

 .      (1.18)

 

Рисунок 1.1 Цепь Маркова, моделирующая процесс прохождения фрагмента учебного курса

 

 

Начальное распределение вероятностей  

 означает, что процесс обучения всегда стартует из первого состояния.

Средние значения числа пребываний процесса в множестве невозвратных состояний, вычисленные по формуле (1.10), задаются следующей матрицей:

 

 .

 

Средняя трудоемкость процесса:

Вычислив матрицу дисперсий D по формуле (1.12) и взяв значения элементов первой строки, соответствующей стартовому состоянию процесса, получим среднеквадратичное отклонение трудоемкости процесса от средней

Рисунок 1.2 Вероятности пребывания процесса в различных состояниях

 

На рисунке 1.2 приведен график распределения вероятностей прохождения отдельных этапов курса, рассчитанный по формуле (1.2). Из него, в частности видны вероятности завершения процесса за заданное число шагов (переход в состояние S ₁₀). Из рисунка 1.3 видно, что минимальное число шагов, необходимое для завершения фрагмента курса, равно 5. Вероятность такого исхода, согласно рисунку, равна 0,337, а достаточно надежное завершение курса наступает на 9 – 13 шагах.

Лабораторная работа № 1. Моделирование динамики систем на основе
цепей Маркова с дискретным временем (часть 1)

Цель работы

- освоить основные положения теории конечных цепей Маркова (ЦМ) с дискретным временем.

- научиться составлять ЦМ для моделирования вычислительных систем и анализа динамики их функционирования.

- провести имитационное моделирование динамики ЦМ.

Содержание работы

1) Изучить теоретический материал по ЦМ по учебнику
(п. 3.1) или лекциям.

2) Для заданного варианта модели вычислительной системы составить матрицу переходных вероятностей.

3) Вычислить с помощью пакета MathCad векторы вероятностей X (t) пребывания системы в каждом из состояний для 15 шагов при старте из заданного входного состояния и построить соответствующие графики.

4) Составить алгоритм имитационного моделирования динамики ЦМ, написать и отладить программу на языке высокого уровня. Один из возможных вариантов алгоритма приведен ниже.

5) Провести статистическое моделирование динамики ЦМ и сравнить их с результатами п.4.

Оформление отчета по работе

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

· титульный лист с указанием всех исполнителей и номера группы;

· исходные данные по ЦМ – граф состояний и матрицу переходных вероятностей;

· матрицу переходных вероятностей P и вектор начальных условий X (0);

· таблицу векторов X (t), t =0,1,…15, полученных по формуле  и график , j =1,… n, t =0,…15;

· листинг программы имитационного моделирования ЦМ;

· таблицу векторов X (t), полученных с помощью имитационной программы при различном числе экспериментов (N =100, 2000, 2000) и график , j =1,… n, t =0,…15. Оценить влияние числа N на точность имитационного моделирования.