Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей

Определение. Суммой событий А ₁, А ₂, …, А _n называется такое событие , которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А ₁, А ₂, …, А _{n .}

Пример1. Событие А – появление 3 очков, а В – появление 6 очков при одном бросании игральной кости, тогда А + В – это появление или 3 или 6 очков, т.е. числа очков, кратного трем.

Пример 2. Произведено 3 выстрела по мишени. Введем такие события:

- ни одного попадания;

 - одно попадание;

- два попадания;

- три попадания;

А – не менее двух попаданий;

В – не более одного попадания;

С – не более двух попаданий.

Тогда: - (события несовместны);

;

Определение. Произведением событий А ₁, А ₂, …, А _n называется такое событие , состоящее в том, что произошли все события А ₁, А ₂, …, А _n одновременно.

Пример 1. А – выбранное число кратно 2. В – выбранное число кратно 3

А ∙ В – выбранное число кратно 6.

Пример 2. Произведено 3 выстрела по мишени. Введем такие события:

 - попадание при первом выстреле;

 - промах при первом выстреле;

 - попадание при втором выстреле;

 - промах при втором выстреле;

 - попадание при третьем выстреле;

 - промах при третьем выстреле;

А – три попадания;

В – ровно два попадания;

С – ни одного попадания;

D – хотя бы одно попадание.

Тогда согласно данным выше определениям:

 1) ;                 2) ;

3)  ;               4) .

Определение. Если полная группа событий состоит из двух событий, то любое из них называется противоположным к другому (обозначаются  и ). Следовательно, событие  называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что событие А не произошло.

Основные теоремы теории вероятностей. События А и В называются несовместными, если в результате одного опыта они не могут произойти одновременно, т. е. наступление одного из них исключает наступление другого.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей событий А и В.

 

.                                                                (3.3)

 

Это правило можно обобщить на п событий. Если имеем п несовместных событий (А ₁, А ₂, …, А _n), то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1.  (событие достоверное), , отсюда

 

.                                                                               (3.4)

 

Два А и В события называются совместными, если появление обоих событий возможно в данном испытании.

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей событий А и В минус вероятность их совместного появления.

 

.                                                             (3.5)

 

Следствие. Вероятность суммы трех совместных событий

 

.

 

Событие В называется зависимым от события А, если его появление зависит от того, произошло событие А или нет. Вероятность события В при условии, что А произошло, называется условной вероятностью события В при условии, что А произошло. Такая вероятность обозначается или  или .

Теорема 3. Вероятность произведения зависимых событий А и В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В , т. е. вычисленную при условии, что событие А произошло.

 

.                                                                       (3.6)

 

Следствие 1. Теорема обобщается на любое конечное число событий:

События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло ли второе событие. В этом случае условная вероятность события совпадает с безусловной вероятностью

Теорема 4. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей.

 

 .                                                                         (3.7)

 Это выражение носит название критерия независимости случайных событий.

Пример. Производятся два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятности попадания: при первом выстреле - 0,6, при втором – 0,8. Найти вероятность попадания при двух выстрелах.

Решение. Примем: события  и  - попадание при 1-м и 2-м выстрелах соответственно. Попадание в мишень при двух выстрелах – это попадание при 1-м, либо при 2-м, либо при 1-м и 2-м выстрелах одновременно

 

.

 

События независимы, поэтому

 

.

 

Окончательно получаем

 

.