Системы координат на плоскости

 

Декартова система координат. Прямая, на которой указано направление, начало отсчета и масштаб называется числовой осью. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в точке O – начале системы координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную - осью ординат.

Каждой точке плоскости M сопоставляется ориентированный отрезок OM (радиус-вектор) с началом в точке О и концом в точке M. Спроектируем точку М на оси координат (рис.1.1). Каждой точке плоскости M сопоставляется упорядоченная пара чисел (х, y), которые называются декартовыми координатами точки М (х, у). В любой системе координат существует взаимно однозначное соответствие между точкой и ее координатами.

 

         

                     Рис. 1.1. Декартова система координат

 

На плоскости расстояние d между двумя точками M (х_i, y_i) и N (x_j, y_j) измеряется по прямой и вычисляется по формуле длины вектора

 

                                                            (1.1)

         

 или d ² = (x _i - x _j)² + (y _i - y _j)²

 

Пример. Найти расстояние d между двумя точками M (-3,4) и N ((5.2). Согласно формуле (1.1) имеем

 

.

 

Полярная система координат. Выберем на плоскости фиксированную точку O, называемую полюсом, исходящая из нее полуось OP, называется полярной осью. На полярной оси указываем единицу масштаба. В этой системе координат (рис. 1.2) положение точки M задается ее расстоянием r до полюса (т. е. длиной отрезка OM, называемого полярным радиусом точки M) и углом j, который составляет полярный радиус с полярной осью (положительный отсчет угла идет против часовой стрелки). При этом область значений угла j ограничена: -p < j p или 0  j <2p. Числа r и j называются полярными координатами точки М (r, j). Полюс имеет единственную координату r = 0.

Если на плоскости заданы прямоугольная и полярная системы координат, причем начало координат и положительная часть оси абсцисс совпадают с полюсом и осью полярной системы координат (рис.1.3), то декартовы и полярные координаты точки М связаны м соотношением

х = r cosj                  y = r sinj.                                                   (1.2)

 

или

х ² + y ² = r ²(cos²j+ sin² j) = r ²  .                                          (1.3)

 tgj = .                                                                                       (1.4)                                                                                        

Формулы (1.2) выражают координаты точки M в прямоугольной системе через ее же координаты в полярной системе, формулы (1.3) и (1.4) выражают полярные координаты через декартовы.

                  

                  

 Рис. 1.2. Полярная система                            Рис. 1.3. Связь полярной и      

координат.                                              декартовой систем систем координат

 

Рис. 1.4. Сдвиг системы координат.

 

Преобразование системы координат. Пусть даны две прямоугольные системы координат X ₁ Y ₁ и X ₂ Y ₂. Найдем связь координат точки M (x ₁, y ₁) в одной из систем координат с ее же координатами (x ₂, y ₂) в другой системе.

Параллельный перенос (сдвиг) системы координат (рис. 1.4.). В первой системе координат точка M имеет координаты (x ₁, y ₁), точка O ₁ имеет координаты (0, 0), точка O ₂ - (а, b), Во второй системе точка M имеет координаты (x ₂, y ₂). Координаты точки М в разных декартовых системах связаны соотношением.

 

                                                                (1.5)

 

Поворот системы координат с совмещенной точкой начала. Пусть оси OX ₁ и OX ₂ повернуты на угол j. Из рис. 1.5 следуют соотношения

                                                                (1.6)

 

Рис.1.5. Поворот системы координат.

 

 

В общем случае связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат выражается линейными соотношениями

 

                                                                (1.7)

 

Пример. Как изменятся координаты точки M (-2, 3), если система будет повернута на 30⁰ и сдвинута вверх на две единицы?

Применяя формулы (1.7) для x ₁ = -2, y₁ = 3, угла j = 30⁰, а = 0 и b = 2, имеем

x ₂ = -2cos30⁰ + 3sin30⁰ = -2  + 3  =  -

y ₂ = 2sin30⁰ +3cos30⁰ - 2 = 2  + 3  -2 =  - 1

 

Прямая линия на плоскости

Пусть прямая линия пересекает ось ординат в точке B (0, b) под углом j к оси абсцисс (рис.4.6). Тангенс угла наклона прямой tg(φ) называется угловым коэффициентом и обозначается k.

Выберем на прямой произвольную точку M (x, y) (такая точка называется текущей). В треугольнике МВС тангенс угла МВ С равен . Из чертежа следует

 

           tg j =  = k                                                               (1.8) 

 

сохраняется для всех точек прямой и не выполняется для точек не принадлежащих прямой. Выразив из (1.8) y, получим "уравнение прямой линии с угловым коэффициентом"

 

или                                                                               (1.9)

        

 

Рис. 1.8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

                                                                                                           

Если b = 0, то прямая проходит через начало координат. Если k = 0, то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение у = b. Если вместо точки В дана другая фиксированная точка N (x ₀, y ₀) (рис. 1.9), то

 

k = tg j =                                                                          (1.10)

 

   

Уравнение (1.10) называется "уравнение прямой, проходящей через данную точку".

 

Рис. 1.9. Уравнение прямой проходящей через данную точку.

 

Если даны координаты двух точек N (x ₀, y ₀) и M (x ₁, y ₁), через которые проходит прямая, то

 

 

и уравнение

 

                                                                           (1.11)

 

называется "уравнение прямой, проходящей через две данные точки"

                                                                 

 

Рис. 1.11. Угол между двумя прямыми

 

Угол α между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k ₁ =tg(φ₁) и k ₂= tg(φ₂) (рис 1.11). Если через точку пересечения прямых провести прямую, параллельную оси ОХ, то из чертежа следует, что α = φ₂ – φ_1. По формулам тригонометрии тангенс разности двух углов равен

 

                                         (1.12)

 

 Условие параллельности прямых φ₂ = φ₁: k ₁ = k ₂;

 

Условие перпендикулярности прямых φ₂ – φ₁ = 90⁰: 1= - k₁ k₂ или .

 

Общее уравнение прямой. Любое из уравнений прямой можно привести к виду

  Ах + B y + С = 0.                                                                                       (1.13)

 

Например, для уравнения (1.9) A = k, B = -1, C = b. Аналогичные вычисления можно проделать для уравнений (4.10) или (4.11). Тем самым. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени Ах + B y + С = 0. Если В 0, то уравнение (1.13) можно привести к виду (1.9)

,            k = ,      b = .

 

Если С = 0, то прямая проходи через начало координат.

Если А = 0, В 0, то у =   (рис. 1.12а). Прямая параллельная оси ОХ.

Если В = 0, А 0, то получим уравнение Ах + С = 0 или x = - . Это уравнение определяет прямую параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке х = а (а = - ) (рис. 1.12.б).

 

              а                                                      б 

Рис.1.12. Прямые линии на плоскости, параллельные осям координат

 

Уравнение Ах + Ву + С = 0 описывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости. Верно и обратное утверждение: каждому уравнению первой степени с двумя неизвестными соответствует в прямоугольной системе координат одна и только одна прямая.

 

Деление отрезка на две равные части. Если даны координаты концов отрезка А (х ₁, у ₁) и В (х ₂, у ₂), то координаты середины отрезка тоски С (х ₃, у ₃) находятся по формуле

 

                                                              (1.14)

 

Пример. Даны координаты вершин треугольника А (-3,-3), В(2,7) и С (5,1) (рис. 1.13). Требуется написать уравнения сторон треугольника, определить угол А треугольника, найти уравнение медианы АК и высоты АМ.

Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем уравнение прямой, проходящей через две точки (1.11):

 

A В:     или у = 2х + 3.  Угловой коэффициент k = 2.

  Аналогично, по той же формуле (1.11)

 

АС:     или у = 0,5х -1,5. Угловой коэффициент k = 0,.5.

  СВ:         или у = -2 х + 11.    Угловой коэффициент k = -2.

 

 

Рис. 1.13.

 

Тогда тангенс угла А определяется по формуле (1.12) тангенса угла между прямыми:

 

, k₁=2, k₂ = 0,5. Следовательно

 

Ищем уравнение медианы АК. Для этого определяем координаты точки К, учитывая, что отрезок ВС в точке К делится пополам (1.14), следовательно,

 

АК    или

 

Ищем уравнение высоты АМ, опущенного из вершины А на сторону ВС. Из условия перпендикулярности прямых . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку (1.10) А:

Следовательно, уравнение АМ:  или у - 0,5х +1,5 =0

 

Кривые второго порядка

 

Кривыми второго порядка называются линии, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени

 

Ax ² + B xy + C y² + Dx + Ey + F = 0,                                               (1.15)

 

причем хотя бы один из коэффициентов А, B, С  должен быть не равен нулю.

Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M (а, b) имеет вид

 

(x - a)² + (y - b)² = R ².                                                                     (1.16)

 

Если   a = b = 0,то центр окружности лежит в начеле координат. Такая окружность называется канонической x ² + y ² = R ². Если раскрыть скобки, то мы увидим, что уравнение (1.16) получается из уравнения (1.15), если

 

A = C = 1, B = 0, D = -2 a, E = -2 b, F = - R ² + a ² + b ². 

 

Пример. Пусть задано уравнение х ² + y ² - 4 x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Решение. Попробуем привести данное уравнение к виду (1.16). Для этого выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4

 

x ² + y ² - 4 x = (x ² - 4 x + 4) + y ² - 4 = 0   

 

или  

 

 (x - 2)² + y ² = 2^2.                                                                           (1.17) 

                  

Сравнивая (1.16) с (1.17), видим, что заданное уравнение есть уравнение окружности радиусом R  = 2 и с центром в точке M (2, 0).

 

Эллипс - замкнутая кривая, для всех точек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (т.е. одинакова) и равна, по определению, 2 а (а > 0).

Если центр симметрии эллипса находится в начале координат, а фокусы F ₁ (с, 0)  и F ₂ (- с, 0) лежат на оси ОХ (рис.1.14), то такое расположение называется каноническим. Точка М – текущая точка эллипса. Сумма расстояний MF ₁ и MF ₂ равна, по определению, 2 а.

 

MF ₁ + MF ₂ = 2 а,

 

и, так как

 

,

 

то получим

 

.

 

Рис.4.14. Канонический эллипс. MF ₁ + MF ₂ = NF ₁ + NF ₂ = 2 а,

 

Преобразуя это уравнение, получим уравнение эллипса, которое называется каноническим

 

.                                                                                         (1.18)

 

Величины a и b называются малой и большой полуосью эллипса (величины 2 а и 2 b называются осями, величины a, b, с – параметры эллипса), причем

 

a ² = b ²+ c ².

 

Отношение  называется эксцентриситетом, эксцентриситет эллипса меньше единицы е < 1.

Уравнение (1.18) получим из (1.16) если 

 

B = D = E = 0, , F = -1.

 

Очевидно, что окружность - частный случай эллипса, у которого a = b = R, а центр находится в начале координат.

 

Гипербола – неограниченная кривая, для всех точек которой разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и по определению равна 2 а (рис. 1.15). Если центр симметрии гиперболы находится в начале координат, а фокусы   F ₁ (с, 0)  и       F ₂ (- с, 0) лежат на оси ОХ (рис.1.15), то такое расположение называется каноническим. Точка М – текущая точка гиперболы. Разность расстояний MF ₁ и MF₂ равна, по определению, 2 а (а > 0).

 

MF ₂ – MF ₁ = 2 а.

 

Знак  необходим, так как разность расстояний может иметь любой знак. Здесь, так же как и для эллипса

 

.

 

Отсюда

 

.

 

 

Рис. 1.15. Каноническая гипербола. MF₂ – MF₁ = NF₁ – NF₂ =  2а.

 

Проведя преобразования, получим каноническое уравнение гиперболы

 

.                                                                                          (1.19)

 

Параметры а и b называются полуосью и мнимой полуосью гиперболы (величины a, b, с – параметры гиперболы), причем, в отличии от эллипса,

 

  c ² = b ² + a ².

 

Эксцентриситет гиперболы  больше единицы e > 1.

 

Уравнение (1.19) получим из (1.15) если

 

B = D = E = 0, , F = - 1.

 

Особенность гиперболы – наличие наклонных асимптот - прямых к которым неограниченно приближается кривая при . Уравнения асимптот

 

.

 

Парабола - неограниченная кривая, все точки которой (рис. 1.16) равноудалены от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, причем расстояние между фокусом и директрисой равно р. Если фокус F лежит на оси ОХ в точке с координатами F (,0), а уравнение директрисы , и директриса перпендикулярна оси ОХ, то парабола называется канонической. Точка М (x, y) – текущая точка параболы. Точка К лежит на директрисе и имеет координаы . По определению MK = MF.

 

 

Или, по определению

 

 

Возводя в квадрат и приводя подобные члены, получим каноническое уравнение параболы  

    

y ² = 2 px.                                                                                              (1.20)

 

Величина р называется параметром параболы, ось ОХ – ось параболы. Уравнение (1.20) получим из (1.15) если

 

A = B = E = F = 0, C = 1, D = - 2 p.

 

Сделав поворот и сдвиг системы координат, любое уравнение (1.15) можно привести только к одному из трех уравнений второй степени: (1.18), (1.19), (1.20) или к уравнению вида , которому соответствуют две прямые, проходящие через начало координат. Это означает, что уравнениями второй степени можно описать только эллипс (и его частный случай окружность), гиперболу или параболу.

 

Рис. 1.16. Каноническая парабола. NF = NL и MK = MF

 

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С (x ₀, y ₀) (случай В).

 

                                   А                                    В

Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

 

 

Геометрия в пространстве