Приложения определенного интеграла.

 

1. Вычисление площади плоских фигур. Как уже отмечалось, если f (x) ³ 0 на отрезке [ a, b ], то определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, и x = b.

 

                                                                               (5.23)

Если на [ a, b ] функция, как показано на рис. 5.6, меняет знак, то необходимо вычислить интеграл от модуля подинтегральной функции.

.                                                                                

Это означает, что если на отрезке [ а, с ] Ì [ a, b ] функция f (x) < 0, то на этом отрезке берется отрицательное значение функции

 

 

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс и синусоидой на отрезке [0, 2p].

Решение. Поскольку sin(x) ³ 0 на отрезке [0, p] и sin(x) £ 0 на [p, 2p], то искомая площадь S равна

S =

 

= - (cosp - cos0) + (cos2p -cosp) = -(-1 –1) +(1 + 1) = 4.

 

 

Рис. 5.6. Вычисление площади при помощи определенного интеграла

 

Рис. 5.7. Вычисление площади плоской фигуры.

 

В более общем, случае требуется вычислить площадь плоской фигуры ограниченной несколькими кривыми линиями. В этом случае искомая площадь есть алгебраическая сумма площадей нескольких криволинейных трапеций. Например, как показано на рис.5.7

 

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями    y ₁=½ x - 2½ и y ₂ =  (рис. 5.8).

 

Рис. 5.8. Площадь плоской фигуры.

 

Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение

 

y ₁(х) = y ₂(х).

 

Возведем в квадрат левую и правую часть

 

или ; .

 

Учтем, что .

Следовательно

 

Вычисление длины дуги. Пусть некоторая гладкая плоская кривая описывается функцией f (x) и отрезку [ a, b ] оси абсцисс отвечает дуга AB. Произвольным образом разобьем эту дугу, как показано на рис.5.9 на n частей точками M ₀, M ₁,..., M _n. Получим элементарные дуги. Соединив каждые две соседние точки прямой, получим вписанную в дугу AB ломаную линию. Длину звена ломанной D l _i, лежащую между точками   М _i M_{i + 1}, где М _i (x_i, f (x_i)), М _{i +1} (x_{i + 1}, f (x_{i +1})) находим по формуле

 

.

 

Длина элементарной дуги М _i M_{i +1} примерно равна D l _i

 

.                                                   (5.24)

 

Просуммируем (5.24) по всем элементарным дугам, тогда длина L дуги АВ равна

 

 

 

 

        

 

Рис. 5.9. Длина дуги.

 

.

 

Выражение, стоящее в правой части равенства является интегральной суммой. При бесконечном увеличении числа точек разбиения , проводимого произвольным образом, если каждый раз длина самой большой элементарной дуги r будет стремится к нулю ,то длина ломаной будет неограниченно приближаться к длине дуги. Тогда длина дуги L плоской кривой

 

  (5.25)       

Если кривая задана в параметрическом виде: х = j(t), y = y(t) (a£ t £b), то длина кривой вычисляется по формуле

 

                                                             (5.26)                                                                                  

Пример 1. Найти длину дуги кривой y ² = x ³ , заданной на отрезке от x = 0 до x = 1 (y ³ 0).

Решение. . Подставляя затем этот результат в (5.25), получим

 

.

 

Пример 2. Найти длину дуги кривой x = a cos³ t, y = a sin³ t, если t изменяется 0 до p/2.

Решение. Вначале находим производные по t

 

x ¢(t) = -3 a cos² t ּsin t, y ¢(t) = 3 a sin² t ּcos t

 

Подставляя в формулу (5.26), имеем

 

 

 

Вычисление объемов тел. Пусть дано тело переменного сечения, расположенной над осью ОХ (рис.5.10), ограниченное плоскостями х = а и х = b. Объем тела обозначим за V. Разделим отрезок [ a, b ] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

 

x ₀ = a < x ₁ < x ₂ <... < x _{i -1}< x _i <... < x _n = b.

 

 

Рис. 5.10. Объем тела переменного сечения.

 

 В точках деления проведем плоскости, перпендикулярные оси О Х. Тело разделится на n узких слоев (элементарных объемов) шириной Δ x _i = x _i - x _i-1 (i = 1, 2,…, n). Объем каждого такого слоя обозначим как Δ V _i. На каждом промежутке [ x _i-1, x _i] выберем произвольную точку . Обозначим за S (x *_i) площадь поперечного сечения тела в этой точке. Тогда

 

                                                                          (5.27)

Просуммируем (5.27) по всем i, получим интегральную сумму

 

                                                           (5.28)

 

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δ x _i, т.е. ранг дробления r должен стремится к нулю. Тогда объем тела переменного сечения V,будет равен пределу интегральной суммы при  и

 

                                  (5.29)

                                                                

Если тело получено при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ОХ (рис. 5.11), то . В этом случае объем тела V вычисляется по формуле

 

                                                        (5.30)

Рис. 5.11. Объем тела вращения.

 

Пример. Вычислить объем тела, полученного при вращении кривой y = sin(x) вокруг оси ОХ .

Решение.

 

.

 

 

Дифференциальные уравнения

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

 

Пусть x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция этой переменной. y¢, y¢¢,..., y⁽ⁿ⁾ - производные неизвестной функции. Уравнение, связывающее независимую переменную х с функцией y (x) и ее производными до порядка n включительно, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

 

F (x, y, y ¢, y ¢¢,..., y ^{( n )}) = 0.                                                          (6.1)

 

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Дифференциальное уравнение n -го порядка может не содержать некоторые из величин x, y, y ¢,..., y ^{(n -1)} или даже все эти величины, но оно обязательно содержит n -ю производную y ⁽ⁿ⁾.

Пример 1. y ¢ + 2 y = 0 - уравнение 1-го порядка, так как наивысший порядок производной равен единице.

Пример 2. y ⁽⁴⁾ - y ¢ = 0 - уравнение 4-го порядка: входят производные 1-го и 4-го порядков, наивысший порядок производной равен 4.

Решение дифференциального уравнения - это функция , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество:

 

 

Пример 3. Пусть дано уравнение y ¢¢ + y = 0. Проверим непосредственной подстановкой, что функция y = sinx является решением этого уравнения.

 

y ¢= (sin x)¢ = cosx, y ¢¢= (cosx)¢= - sinx.

 

 Подставим в уравнение вместо y и y ¢ функции sinx и - sinx:

 

- sin x + sin x º 0.

 

График решения называется интегральной кривой. Задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.

Рассмотрим уравнение n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной:

 

y ^{( n )} = f (x, y, y ¢,..., y ^{( n -1)}).

                                                                                                         (6.2)

 

Такая запись уравнения называется видом, разрешенным относительно старшей производной, а функция f (x, y, y ¢,..., y ^{( n -1)}) называется правой частью уравнения.

Предполагаем, что функция f определена, однозначна и непрерывна в некоторой области изменения своих аргументов. Задача нахождения решения y = y (x), удовлетворяющего заданным начальным условиям: при x = x ₀

 

y = y ₀, 

y ¢= y ₁¢,

...,

y ^{( n -1)} = y _n                                                                                                    (6.3)  

 

где x₀, y ₀, y ₁,..., y_{n -} заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Начальные условия можно записать и так:

 

 

Дадим определения общего и частного решений уравнения n -го порядка

 

 

правая часть которого  есть функция определенная и непрерывная в некоторой области G изменения переменных x, y, y ¢,..., y ^{(n -1)}. Функция

 

y = j (x, C₁, C₂,..., C _n),                                                                        (6.4)

                                                                                      

зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных C ₁, C ₂,..., C_n, называется общим решением уравнения (5.2) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1) функция (6.4) является решением уравнения (6.2) при любых значениях произвольных постоянных C ₁, C ₂,..., C_n;

2) каковы бы ни были начальные условия (6.3), существует единственный набор постоянных C ₁⁰, C ₂⁰,..., C_n ⁰, такой, что функция y = j (x, C₁⁰, C₂⁰,..., C_n⁰) является решением уравнения (6.2) и удовлетворяет начальным условиям (6.3).

 

Чтобы найти решение уравнения (6.2) с начальными данными    (x ₀, y ₀, y ₁, y _n ⁾ из области G, если известно общее решение (6.2) поступают следующим образом:

составляют систему уравнений                                                      

  

                                                                       (6.5)                                                                                                         

 

2) решая систему (6.5), находят C ₁⁰, C ₂⁰,..., C_n ⁰;

3) подставляют найденные значения произвольных постоянных в общее решение (6.4) и получают искомое решение

 

y = j (x, C₁⁰, C₂⁰,..., C_n⁰),

 

которое является искомым единственным решением задачи.

Если общее решение уравнения (6.2) задано в неявном виде

 

Ф (x, y, C₁, C₂,..., C _n) = 0,                                                                       (6.6)

                                                                                

то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение, получаемое из общего решения (6.4) при конкретных значениях постоянных C ₁ = C ₁⁰, C ₂ = C ₂⁰,..., C_n = C_n ⁰, называется частным решением уравнения (6.2).