Матрицы. Правила действия с матрицами

Матрицей  А называется прямоугольная таблица чисел. Если матрица состоит из m строк и n столбцов, то говорят, что размерность матрицы есть m на n (m n). Количество элементов в такой матрице равно произведению m ∙ n. Обозначение матрицы

 

                                          (1.1)

 

Числа a_ij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i указывает номер строки, второй j - номер столбца.

Матрица называется прямоугольной, если m ≠ n, Если m = n, то матрица называется квадратной и число n - порядком матрицы. Матрица, содержащая один столбец, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки - матрица-строка. У таких матриц элементы могут иметь только один номер.

 

;                                                      (1.2)

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Для квадратной матрицы порядка n элементы с одинаковыми индексами a ₁₁, a ₂₂,..., a_nn образуют главную диагональ. Элементы a _{1 n}, a _{2 n -1},..., a_{n 1} образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: a_ij = 0 при i ≠ j. Диагональная матрица обозначается так

 

.                                      (1.3)

 

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, единице называется единичной и обозначается I или E

                                                                   (1.4)

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:

 

, .                                 (1.5)

 

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое детерминантом или определителем, который  обозначается символами detA или D(A).

Для матрицы  определитель находится по формуле: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали

 

      det(A) = = a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a _21.                           (1.6)

 

Для матрицы  определитель находится по формуле

 

 

                                                                                    (1.7)

  det (A) = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂ a₃₁ –

-  a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁a₂₃ a₃₂.

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение.

 

Определитель единичной матрицы равен единице det I = 1.

Минором M_ik называется определитель меньшего порядка (размера), полученный при вычеркивании i -той строки и k -того столбца. Алгебраическим дополнением A_ik называется минор, знак которого определяется по правилу A_ik = (-1) ^{i + k} M_ik.

Определитель можно представить в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения, например для матрицы 3×3

 

                                  (1.8)

 

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A ¹ 0, и вырожденной (особенной), если det A = 0. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

.       (1.9)

 

Действия над матрицами. Равенство матриц. Две матрицы A= (a_ij) _m,n и B= (b_ij) _k,q называются равными, если они одинаковы по размеру (m=k, n=q) и их соответствующие элементы равны (a_ij = b_ij).

Сложение матриц. Складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц A = (a_ij) _m,n и B =(b_ij) _m,n называется матрица C =(c_ij) _m,n того же размера, причем элементы матрицы C равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е.

 

  C = A+B, если c_ij = a_ij + b_ij.                                                           (1.10)

 

Пример. .

 

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A= (a_ik) _m,n на число a называется матрица C =(c_ij) _m,n, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы A умножением на число a: 

 

C = a A, где c_ij = a × a_ij.                                                               (1.11)

 

Пример.

.

 

Произведение матриц. Произведение матриц A _mk ∙B _kn = C_kn определено только в том случае, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица С имеет размер m∙ n. Элементы матрицы С определяются по формуле

 

                                              (1.12)

 

Умножение матриц производится по правилу "строка на столбец". Произведение матриц не перестановочно, в общем случае A∙B ≠ B∙A.

Пример. Найти произведения матриц A =   и B = .

Поскольку это квадратные матрицы одного размера, то умножение таких матриц возможно, причем существует и АВ и ВА. В соответствии с (1.12) имеем:

 

 

Если A, B - квадратные матрицы одного порядка, то det (A ∙ B) = detA ∙ detB.

 

Транспонирование матриц. Рассмотрим произвольную матрицу

 

. 

Матрица  полученная из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к A.

 Например, если A =  , то A^t = .