Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Правила вычисления пределов функции
Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х 0 есть величина бесконечно малая, т. е., если , то f (x) = A + a (х) (1.8)
где a (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х 0. Доказательство. Обозначим за a (х) разность между функцией и ее пределом
a (х) = f (x) – A.
Тогда из определения предела функции следует что, для всех х удовлетворяющих условию ½ x0 - х ½< d. Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что a (х) есть величина бесконечно малая. Справедливы следующие свойства пределов функций: 1. Если предел функции существует, то он единственен. 2. Предел постоянной величины С равен самой постоянной.
Если при х ® x 0 существуют конечные пределы функций f (x) и g (x)
то справедливы следующие утверждения
3. . Действительно где α(х) и β (х) величины бесконечно малые. Так как сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая, т.е. α(х) + β (х) = γ(х), то
.
Отсюда следует, что 4. 5. 6. 7. 8. Если функция неотрицательна в окрестности точки x 0 , то и ее предел при x ® x 0 тоже величине неотрицательная .
9. Если f (x) < g (x), то и . Пример 1. Вычислить . Решение. Подставляем вместо х под знак предела единицу, вычислим
, а , и, по теореме о пределе частного, получаем, что . Как правило, применять теоремы о пределах можно только после предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие ситуации: , , , , , которые называются неопределенностями. Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x. При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.
Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах. Пример 2. Вычислить . Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим
, так как и . Пример 3. Вычислить . Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим
.
Замечательные пределы Первый замечательный предел . (1.9)
Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 1.2) Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично. Площадь треугольника ВОА
.
Площадь сектора ВОА
.
Рис. 1.2. Первый замечательный предел.
Площадь треугольника D ОА
.
Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение т. е.
Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x) (т. к. , то и ). Получим
Или, для обратных величин
Так как , то и . Что и требовалось доказать. Следствие: (1.10)
Второй замечательный предел, число е. Число е определяется как следующий предел
, или , где число е = 2,718…., (1.11) Число е является основанием натуральных логарифмов . Пример 1. Вычислить . Решение. Числитель и знаменатель дроби тоже стремятся к нулю. Преобразуем функцию, используя первый замечательный предел. Для этого умножим и поделим в числителе на 2 х и учтем, что .
Пример 2. Вычислить . Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю
.
Пример 3. Вычислить . Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.
. Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим
. Пример 4. Вычислить . Решение. Так как и , то имеет место неопределенность вида . Вспомним, что есть замечательный предел . Используем этот замечательный предел, преобразовав исходный предел следующим образом: . Имеем (здесь ), . Таким образом, .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 55; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.21.93.168 (0.024 с.) |