Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определение производной. Правила дифференцирования
Пусть задана некоторая функция y = f (x). Выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х 1. Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента D х = х 1 – х, (т.е х 1 = х +D х). Замечание. D х может быть как больше нуля, если х 1 > х, так и меньше нуля, если х 1 < х. Вычислим значения функции в этих точках y = f (x) и y 1= f (x 1). Приращением функции D f (x) называется разность между двумя значениями функции
D f (x) = f (x 1) - f (x) = y 1 – y или D f (x) = f (х + D x) – f (x).
Если при D х ® 0 существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции f (x) в точке х и обозначается
(2.1)
Производная - это функция от того же аргумента, что и f (x). Операцию вычисления производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f (x), отметить точки х и х 1 = х + D х, то МС = D х, NC = D f (x). Величина отношения
(2.2) равна тангенсу угла наклона секущей MN к оси абсцисс (см. рис.2.1). Если Dх ® 0, то точка N стремится по графику функции к точке M, секущая MN стремится занять положение касательной МК к графику функции f (x) в точке M, угол наклона секущей α стремится к углу наклона касательной φ. Сравнивая формулы (2.1) и (2.2) мы можем сказать, что значение производной f ¢(x) в точке х равно тангенсу угла наклона касательной к графику y = f (x) в точке М с координатами (х, f (x)). Уравнение касательной в точке М
,
уравнение нормали (угловой коэффициент нормали равен ) ,
Рис. 2.1. Геометрический смысл производной
Замечание. В механике производная от пути по времени есть скорость
Правила дифференцирования.
1. Производная постоянной С равна нулю (C)` = 0 (2.3) 2. Производная линейной комбинации функций f 1 (x) и f 2(x) у (х) = с1f1 (x) +c2f2 (x), (2.4)
где с1 и c2 произвольные постоянные, равна линейной комбинации производных
у ¢(x) = (с1f1 (x) +c2f2 (x)) ¢ = с1f1 ¢ (x) +c2f2 ¢ (x). (2.5) Действительно, вычислим приращение функции D у (x). Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х 1. Вычислим соответствующие значения функции у (x 1) и у (x) и найдем ее приращение.
D у (x) = у (x 1) - у (x) = (с1 f 1(x 1) + с2 f 2(x 1)) - (с1 f 1(x) + с2 f 2(x)).
Сгруппируем отдельно слагаемые содержащие f 1 (x) и f 2(x) и вынесем за скобки константы с1 и с2. Выделим приращения функций f 1 (x) и f 2(x)
D у (x) = (с1 f 1(x 1) - с1 f 1(x)) + (с2 f 2(x 1) - с2 f 2(x)) = с1 (f 1(x 1) - f 1(x)) + (2.6) + с2 (f 2(x 1) - f 2(x)) = с1 D f 1(x) + с2 D f 2(x 1). Подставим приращение функции D у (x) (2.6) в формулу (2.1) (определение производной) и учтем правила вычисления пределов: предел суммы равен сумме пределов, постоянный множитель можно вынести за знак предела. Тогда
Следствие. Постоянный множитель С можно вынести за знак производной
(С у (x)) ¢= С у ¢(x).
3. Производная произведения функций у (x) = f (x) g (x) вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую
у (x)’ = (f (x)g(x))¢ = f ¢(x) g (x) + f (x) g ¢(x). (2.7)
Правило можно обобщить на случай производной произведения n функций (f 1(x) f 2(x) .. …. … f n(x))¢ = = f 1(x)¢ f 2(x) …. f n(x)+ f 1(x) f 2(x)¢ …. f n(x)+….+ f 1(x) f 2(x) ….. f n(x)¢
4. Производная частного двух функций вычисляется по правилу
(2.8)
Пример. 1. (6 sin x - 2 ln x)¢ = (6 sin x)¢ - (2 ln x)¢ = 6 (sin x)¢ - 2 (ln x)¢ = 6 cos x - В табл. 1 приведены производные основных элементарных функций. В табл. 2 основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируемая функция g (x) является аргументами другой функции f (x). В этом случае говорят о сложной функции у (x) = f (g (x)) или суперпозиции функций f и g. Вычислим производную сложной функции. Найдем приращение функции D у (x). Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х 1 = x + D x. Вычислим соответствующие значения функции g (x + D x) и g (x) и найдем ее приращение
D g (x) = g (x + D x) - g (x) g (x + D x) = g (x) + D g (x).
Аналогично найдем значения функции f (g (x + D x)) и f (g (x)). Тогда
D f = f (g (x +D x)) – f (g (x)) = f (g (x) + D g (x)) – f (g (x)). (2.9)
Подставим выражение (2.9) в (2.1). Умножим и разделим на D g (x) и сгруппируем сомножители. Тогда производная сложной функции
(2.10)
2. (lnx∙cosx)' = ∙cosx - lnx∙sinx.
3.
В компактной форме производную от сложной функции можно записать так
Т а б и ц а 1. Производные основных элементарных функций
(2.11)
Например: у = ln (sin (x 2)). Эта сложная функция состоит из следующих отдельных функций: f = ln g, g = sin h, h = x 2. При этом
Тогда
Т а б л и ц а 2. Правила дифференцирования
Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций: . Решение. 1. 2. есть сложная функция , где . Производная сложной функции имеет вид . Следовательно, . - сложная функция , где , а , . Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке . Решение. Уравнение касательной , к кривой в точке . Здесь , . Для определения углового коэффициента касательной находим производную , . Подставляя значения в уравнение, получим или . Уравнение нормали или . Раскрыв скобки получим .
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 53; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.50.244 (0.041 с.) |