Вероятность безотказной работы и вероятность отказа

2.1.1. Вероятностные определения

Вероятность безотказной работы (ВБР) - это вероятность того, что объект не откажет до момента времени t, будучи исправным в начальный момент времени. Еще одно определение:

ВБР - это вероятность того, что наработка Т до отказа окажется больше заданного времени t.

               р(t) = р{Т > t },                (2-1)

где Т - наработка до отказа (НДО), случайная величина, измеряемая

   в единицах времени.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее [8].   

Предсказать или рассчитать это значение невозможно по причине большого числа факторов, влияющих на эту случайную величину.

Событие  {Т > t } - безотказная работа,  а событие  {Т < = t } - 

- отказ. Вероятность отказа q (t) - это вероятность того, что объект откажет хотя бы один раз в течение заданной наработки, будучи работоспособным в начальный момент времени, или вероятность того, что наработка до отказа Т окажется меньше или равной  заданному времени t.

           q (t) = р{Т < = t }.            (2-2)

Рассмотрим сумму вероятностей   р(t) и q (t). Она равна вероятности суммарного события - будет или отказ или безотказная работа. Эта же дизъюнкция условий может выражаться через НДО. Наработка Т до отказа окажется или больше заданного времени t, или меньше t, или равна ему.  Отсюда следует -

           р(t) + q (t) = 1,                 (2-3)

 

так как одно из этих событий случится обязательно, а вместе они произойти не могут (полная группа несовместных событий).

Зависимость ВБР от времени имеет невозрастающий характер, а вероятность отказа, наоборот, является функцией неубывающей.

 

Рис 2.1.

Зависимость от времени ВБР и вероятности отказа

Так как в начальный момент времени объект был исправен, то

       р(t =0) = 1, а q (t =0) = 0.             (2-4)

Для момента времени, равного бесконечности

       р(t = ∞) = 0, а q (t = ∞) = 1,        (2-5)

то есть бесконечно долго никакой объект работоспособным быть не может, когда-нибудь отказ неизбежен.

В теории вероятностей существует понятие функции распределения случайной величины. Это вероятность того, что значение случайной величины Т окажется меньше или равной заданного времени t.

          F (t) = р{Т < = t }.               (2-6)

Очевидно,  что вероятность отказа   q (t)   представляет собой функцию распределения случайной величины Т - наработки до отказа.

       F (t) = р{Т < = t } = q (t).           (2-7)

 

 

Условные вероятности отказа и ВБР

Вероятности р(t) и q (t) рассмотрены за наработку, отсчитываемую с начала, с нуля времени. Но иногда нужно определить ВБР в течение заданного промежутка времени такого объекта, который некоторое время уже отработал (рис.2.2).

 

       t =0     t                            t +∆ t

                                                 t

                                  ∆ t

Рис. 2.2.

 

Теперь t - время, отработанное объектом безотказно с начала работы, а ∆ t - время, которое объект должен проработать после момента времени t.

Получили условную вероятность р(t, t +∆ t) того, что объект не откажет на интервале от t до t +∆ t при условии, что он не отказал на интервале от 0 до t.

   р(t, t +∆ t) = р{Т > t +∆ t при условии Т > t }.  (2-8)

Отметим, что ранее рассмотренные выражения ВБР и вероятности отказа также можно представить в виде вероятностей на интервале

    р(t) = р(0, t)  и q (t) = q (0, t).     (2-9)

 

Рассмотрим составляющие выражения  (2-8)  по отдельности. На основании определения (2-1)

    р{Т > t +∆ t } = р(t +∆ t), а р{Т > t } = р(t).   (2-10)

 

В теории вероятностей есть формула полной вероятности

             р(С) = р(А) р(В/А)          (2-11)

- вероятность сложного события   С  равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В при условии А. Если события А и В не зависят друг от друга, то выражение (2-11) записывается в виде простого произведения

          р(С) = р(А) р(В).           (2-12)

Мы примем допущение о независимости друг от друга отказов на интервале от 0 до t  и на интервале от t до t +∆ t.  Тогда полная вероятность р(0, t +∆ t) того, что объект не откажет на интервале от t =0 до t +∆ t определится следующим образом

 

           р(0, t +∆ t) = р(0, t) р(t, t +∆ t),   (2-13)

 

а искомая  условная вероятность р(t, t +∆ t) того,  что обьект не откажет на интервале от t до t +∆ t при условии,  что он не отказал на интервале от 0 до t определится отношением

 

                      р(t +∆ t)

             р(t, t +∆ t) = --------,           (2-14)

                                                                                                      р(t)

Отсюда можно определить условную вероятность отказа q (t, t +∆ t) на интервале ∆ t при условии исправной работы объекта на интервале от 0  до t

                                  р(t +∆ t)

q (t, t +∆ t) = 1 - р(t, t +∆ t) = 1 - -------- =     

                                 р(t)

                                              (2-15)

        р(t) - р(t +∆ t)  q (t +∆ t) - q (t)

  = ----------------- = -----------------.    

            р(t)           р(t)