Представление информации в различных системах счисления

 

Система счисления (ССЧ) — это набор конкретных знаков (цифр) вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами. Различные системы счисления могут отличаться друг от друга по следующим признакам:

 

• разное начертание цифр, которые обозначают одни и те же числа;

• разные способы записи чисел цифрами;

• разное количество цифр.

По способу записи чисел цифры ССЧ бывают позиционными и непозиционными.

Непозиционная ССЧ — система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления служат цифры в римской системе, обозначающиеся знаками: 1 — I, 3 — III, 5 — V, 10 — X, 50 — L, 100 — C, 500 — D, 1000 — M. Тогда, например, десятичное число 27 будет представляться следующим образом: XXVII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1, т.е. количественное значение числа представляется суммой значений символов. Основной недостаток непозиционных систем — большое число разных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная ССЧ — система, в которой значение символа зависит от его места в ряду символов (цифр), изображающих число.

Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Например, в числе 1962 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая — количество сотен, третья — количество десятков, четвертая — количество единиц. Номер позиции, определяющий вес единицы, называется разрядом.

Позиционные ССЧ более удобны для вычислительных операций, поэтому они и получили наибольшее распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием — количеством знаков или символов, используемых в разрядах для изображения числа в данной системе счисления.

Кроме десятичной системы счисления, в вычислительной технике используются позиционные системы счисления с основанием q = 2, 8, 16. Значения 16 целых чисел в этих системах приведены в табл. 2.5.

 

Таблица 2.5

Значения чисел в разных системах счисления

В десятичной системе счисления (q = 10) любое целое число записывается как сумма величин 100, 101, 102 и т.д., каждая из которых может быть взята 0–9 раз. Например, числа 4627 и 674,25 соответственно представляют собой сокращенную запись выражения:

 

 

 

 

Из примера следует, что перевод десятичного числа в двоичное проще выполнять через шестнадцатеричную ССЧ.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Дайте определение системе счисления. Чем отличаются друг от друга

различные системы счисления?

2. Сравните между собой позиционную и непозиционную системы счисления. Приведите примеры.

3. Что такое разряд? Назовите основание нескольких систем счисления.

4. Покажите на примерах, как записываются числа в разных системах счисления.

5. Назовите общее правило перевода десятичных чисел в другие системы счисления. Приведите примеры.

6. Переведите числа 9810, 10510 из десятичной в двоичную систему счисления.

7. Переведите числа 10010, 1037510 из десятичной в восьмеричную систему счисления.

8. Переведите числа 1110110112, 100101012 из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Переведите числа ABC16, 1АF416 из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления.

10. Переведите числа 2016, 7816 из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.

11. Переведите числа АА16, D616 из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.

12. Переведите числа 328, 73168 из восьмеричной в двоичную систему счисления.

13. Переведите числа 714210, 45610 из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления.