Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение. Если ф-ция y=f(x) непрерывна в каждой точке некот. интервала (а;b), то говорят, что она непрерывна на данном интервале (а;b).

Определение. Если ф-ция y=f(x) определена при х=х₀ и если сущ. предел (), то ф-ция f(x) наз. непрерывной в точке х₀ слева (справа).

Определение. Ф-ция f(x) наз. непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на интервале (а;b), а также она непрерывна в точке а справа, и в точке b слева.

 

Некот свойсва непрерывной ф-ции

Т-ма: Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдется точка х=х₁ такая, что f(x)≤f(x₁) и точка х=х₂ такая, что f(x)≥f(x₂). Для всех др. значений х, принадлежащих отрезку [a;b], значения f(x₁) и f(x₂) наз. соответственно наибольшим и наименьшим значениями ф-ции f(x) на отрезке [a;b].

Иначе эту теорему можно сформулировать так: Функция непрерывная на отрезке, достигает своего наиб. и наим. значений.

1. а=х₂, b=x₁

2.  [-1,1] – не выполняется условие непрерывности.

 

3. y=x (0,1) – не выполняется условие непрерывности. Выполнилось бы на участке [0,1]

 

 

Т-ма: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков, тогда существует некот. точка С на этом отрезке, в кот. ф-ция обращается в 0. (f(c)=0)

 

 

Геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что график такой ф-ции обязательно пересечет ось Ох хотя бы в одной точке.

Производная сложной ф-ции.

Пусть дана сложная ф-ция y=f(х), т.е y=y(u), где u=u(x), т.е y=y(u(x)), x-независимая переменная, u -промежуточный аргумент.

Теорема. Производная сложной ф-ции y=y(u(x)) = произведению производной ф-ции y по промежуточному аргументу U на производную от промежуточного аргумента по независимой переменной x т.е y_x’=y_u’∙U_x’.

Док-во. Пи определённом значении x u=u(x), y=y(u), при значении x=x+∆х, y+∆у=y(u+∆u), где u+ u=U(x+ x); По определению производной  . Ф-ция отличается от своего предела на ∞ малое слагаемое т.е . Умножим обе части равенства на ∆U. Тогда . Разделим обе части равенства на ∆х  и перейдем к пределу при ∆х→0.

Т. к. ф-ция U(x) дифференцируема, то она непрерывна. Поэтому при ∆х→0 и ∆U→0. Поэтому

Таким образом, получим y_x’=y_u’∙U_x’. ч.т.д
49. Сравнение бесконечно малых

Пусть одновременно несколько ф-ций α, β, γ… от одного аргумента х явл. ∞ малыми, т.е. →0 при х→а либо при х→∞, далее мы не будем указывать к чему →х, предполагая один из этих случаев. limα=0, limβ=0, limγ=0.

Определение. Если отношение  имеет конечный предел, отличный от 0, , то ∞ малые α и β наз. ∞ малыми одинакового порядка. В этом случае

Определение. Если отношение  2-х ∞ малых →0  (тогда очевидно ), то ∞ малая β наз. ∞ малой высшего порядка относительно ∞ малой α.

Определение. Если сущ. конечный предел (а тогда очевидно, существует и предел ), то ∞ малая β наз. ∞ малой порядка k относительно ∞ малой α.

Определение. Если  (а тогда очевидно, ), то α и β - эквивалентные ∞ малые.

Пример: 2х и sin3х явл. ∞ малыми, при х→0. Действительно,

Найдем пределы отношений

Отсюда следует: эти ∞ малые одинаково порядка.

Т-ма: Если α и β эквивалентные ∞ малые, то их разность явл. ∞ малой высшего порядка относительно α или β.

Док-во: Т.к. α и β эквивалентны, то  (по определению). Найдём предел

Таким образом, α-β – ∞ малое высшего порядка относительно α.

Аналогично можно доказать, что

Справедлива также обратная т-ма: если разность α-β - ∞ малая высшего порядка, чем α, чем β, то α и β – эквивалентные бесконечно малые.

Док-во: если , отсюда следует α~β.

Замечаем: Если отношение 2-х ∞ малых  не имеет предела и этот предел ≠∞, то эти ∞ малые несравнимы в смысле данных выше определений.

Т-ма: Предел отношения 2-х ∞ малых не изменится, если числитель и знаменатель заменить эквивалентными ∞ малыми.

Производная.

Пусть некот. тело движется неравномерно. Пусть закон по кот. измен-ся пройденный путь, в зависимости от времени, опред-ся ф-цией s=s(t). Для опред-ия быстроты движения выводят понятие средней

Мгновенную скорость можно определить как предел

Мгновенная v есть производная от пути по времени.

Пусть дана ф-ция y=f(x). Дадим переменной х приращение Δх. Тогда ф-ция у получит приращение Δу=f(x+Δx)-f(x). Если сущ. предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента, когда приращение аргумента →0, то этот предел называется производной от ф-ции f(x) и обознач. f ’(x). Таким образом, по определению: или

С учетом данного опред. мгновенная v есть v(t)=s’(t)

Обозначения производной: f’(x); у’(x);

В конкретной точке f’(x₀); у’(x₀).

Физический смысл производной – это v изменения ф-ции в зависимости от изменения аргумента. Операция по нахождению производной - дифференцирование.

Найдем производную ф-ции y=cos x по опред-ию производной: дадим ф-ции х приращениеΔх, тогда ф-ция y получит приращение: Δу=cos(x+Δx)-cos x.

Разность косинусов равна

(cosx)’=-sin х

Аналогично можно доказать, что (sin х)’=cos x

С помощью определения производной найдем производную ф-ции у=х². Если х изменяется на Δх, у изменяется на Δу= (х+Δх)²-х²=х²+2хΔх+Δх²-х²=2хΔх+Δх²

 (х²)’=2х. Эта формула является частным случаем более общей (xⁿ)’=nx^n-1