Транспонирование матриц. Свойства.

Умножение матриц. Свойства.

А называется согласованной с В, если число столбцов А = числу строк В. Умножать можно только согласованные матрицы. C=A∙B

,

Из согласованности А с В не следует согласованность В с А.

Произведением A_m∙n = (a_ij) на B_m∙n = (b_ij) называется С_m∙n = (с_ij), элементы которой определяются равенством с_ij= a_i1∙b_1j + a_i2∙b_2j + a_i3∙b_3j + … + a_in∙b_nj

(i=1, …, m, j=1, …, k).

Даже в случае, когда матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей А, результат умножения А∙В≠В∙А. В некоторых случаях А∙В=В∙А, тогда матрицы А и В называются коммунитативными.

Свойства умножения матриц:

1. А(ВС)=(АВ)С

2. α(АВ)= (αА)В=А(αВ)

3. (А+В)С=АС+ВС

4. С(А+В)=СА+СВ

Транспонирование матриц. Свойства.

Транспонированием матрицы называется замена каждой её строки её столбцом с тем же номером.

Свойства:

1. (А^Т)^Т=А

2. (αА)^Т=αА^Т

3. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

4. (А∙В)^Т= А ^Т ∙В ^Т

 

Перестановки.

Перестановкой из чисел 1, 2, …, n называется любое их расположение в определённом порядке (α₁, α₂, …, α_n), где α_n – это одно из чисел 1, 2, …, n.

Две перестановки из n чисел считаются различными, если они отличаются порядком расположения хотя бы двух чисел (1, 2, 3, 4) (2, 1, 4, 3).

Подсчитаем число различных перестановок, которые можно составить из n чисел (α₁, α₂, …, α_n):

n перестановок, отличающихся первым элементом

если первый элемент зафиксирован, число перестановок = n-1

первые 2 элемента - = n(n-1)

первая тройка элементов - = n(n-1)(n-2)

число различных перестановок = n(n-1)(n-2)…2∙1=n!

n! (n повторял) – произведение всех целых чисел от 1 до n включительно.

Число всевозможных целых чисел = n!

1!=1, 2!= 1∙2=2, 3!=1∙2∙3=6, 4!=1∙2∙3∙4=24, 5!=120

Говорят, что 2 числа образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит перед меньшим (2,1,3,4).

Если все числа расположены в порядке возрастания, число инверсий = 0.

Число инверсий в перестановке (α₁, α₂, …, α_n) обозначается k(α₁, α₂, …, α_n)

k(1,2,3,4)=0. k(2,1,3,4)=1

Число инверсий в производной перестановке может быть найдено по след. правилу: k(α₁, α₂, …, α_n) = k₁+k₂+…+k_n, где k_n – число чисел в перестановке, полученной из данной путём вычёркивания всех чисел, стоящих справа от числа i и меньших, чем число i:

k(2,1,3,4)=1+0+0+0=1. k₁=1 (2,1,3,4), k₂=0, k₃=0, k₄=0.

k(2,3,1,5,4)= 1+1+0+1+0=3.

Если число инверсий в перестановке чётное, то эта перестановка называется чётной, а если нечётная, то нечётной.

Перемена мест двух чисел в перестановке называется транспозицией.

Теорема: данная перестановка и перестановка, полученная из неё при помощи одной транспозиции, имеют различный характер чётности (одна чётная, другая нечётная).

Понятие определителя.

Вводится только для квадратной матрицы.

Составим произведение из nэлементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца а_{1 α1} ∙ а_{2 α2} ∙…∙ а_{n αn}  Для удобства первые индексы (номера строк) следуют в порядке возрастания. Вторые индексы (номера столбцов) будут образовывать некоторую перестановку (α₁, α₂, …, α_n). Число различных произведений такого вида будет равно числу различных перестановок из вторых индексов, которое, как мы знаем, равно n!. Домножим каждое из произведений на (-1)^{k(α1, α2, …, αn)}. Этот множитель может принимать значения -1…1. Получаем: (-1)^{k(α1, α2, …, αn)}∙ а_{1 α1} ∙ а_{2 α2} ∙…∙ а_{n αn}  

Сумма всех различных произведений такого вида называется определителем матрицы А. Обозначается |A| = детерминант.

 Здесь суммирование производится по всем различным перестановкам вторых индексов det(a_ij). Очевидно, что число слагаемых в правой части равно n!.

 

Свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется. det A^T=det A. Это свойство следует из другого определения определителя.

Рядом определителя будем называть его строку или столбец.

2. Если все элементы некоторого ряда определителя = 0, то этот определитель = 0.

Это свойство следует из определения определителя, согласно которому каждое слагаемое в определителе должно содержать 1 элемент из каждого ряда, в т. ч. из нулевого, => все слагаемые определителя = 0. Это и означает равенство нулю определителя.

3. Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Следует из определения определителя. Согласно определению, в каждом слагаемом определителя будет присутствовать 1 элемент из рассматриваемого ряда, т. е. каждое слагаемое определителя будет содержать этот множитель. Вынося этот множитель за скобки (или за знак суммы) в скобках получим определитель без общего множителя.

4. Определитель, каждый элемент некоторого ряда которого равен сумме 2-х слагаемых, равен сумме 2-х определителей, в первом из которых в данном ряду стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые. А элементы остальных рядов у всех 3х определителей совпадают.

Это св-во для столбцов можно записать так:

Действительно, согласно определению определителя, каждое слагаемое будет содержать эл-ты из данного ряда, яв-ся суммой 2-ух слагаемых. Поэтому каждое слагаемое в определителе в левой части формулы разобьется на 2 слагаемых. Число слагаемых в определителе удваивается. Группируя отдельные слагаемые, содержащие а'_ni   и a''_ni, получим две суммы, которые, согласно определению, дадут первый и второй определитель из правой части.

5. Если м-ца В, полученная из м-цы А переменой мест 2х её параллельных рядов, то detВ=-detА, т. е. при перемене мест строк и столбцов матрицы знак её определителя изменится на противоположный. Действительно, например, перемена мест столбцов приведет к транспозиции – перестановке вторых индексов. В рез-те четность этой перестановки изменится. Поэтому, согласно определению определителя, изменятся знаки всех слагаемых определителя, а => поменяется на противоп. знак определителя.

6. Если м-ца имеет 2 одинаковых параллельных ряда, то её определитель = 0. Действительно, поменяв местами 2 одинаковых ряда м-цы, мы получим ту же самую матрицу. Но, согласно предыдущему свойству, ее определитель должен изменить знак на противоположный. detA=-detA. Это возможно только если detA=0.

7. Определитель м-цы, имеющий 2 пропорциональных параллельных ряда=0. Действительно, вынося коэффициент пропорциональности рядов за знак определителя, получим определитель, имеющий 2 одинаковых параллельных ряда, который, согласно св-ву 6, = 0.

8. Если м-ца В, полученная из м-цы А прибавлением к эл-там некоторого её ряда эл-тов другого параллельного ему ряда, умноженных на некоторое число, то detВ= detА.

 

Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство:

А^-1∙А=А∙А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

Очевидно, что произведение в этом равенстве будут существовать, только если матрицы А и А^-1 – квадратные, одинакового порядка, поэтому понятие обратной матрицы применимо только к квадр. матрицам.

Если определитель квадр. матрицы = 0, то эта матрица называется вырожденной, или особенной, если её опр-ль не = 0 - то невырожденной, или неособенной.

Теорема. Любая невырожденная матрица

имеет единственную обратную матрицу, которая может быть найдена по формуле:

(2)

Док-во. По правилу умножения матриц имеем:

Мы использовали теорему о разложении определителя по элементам ряда и аннулирования. Аналогично можно показать, что матрица (2) является единственной обратной матрицей для матрицы А.

 

   

Ранг матрицы.

Рангом матрицы называется наибольший порядок её миноров, отличных от нуля.

Миноры 3 порядка этой матрицы = 0, т. к. они содержат нулевой столбец.

r_A≤2. Все миноры 2 порядка будут содержать либо нулевой столбец, либо 2 пропорциональных столбца, и => тоже все = 0.

r_A=1. Т. к. у этой матрицы есть миноры первого порядка, отличные от 0, то её ранг = 1.

Элементарные преобразования матрицы:

1. умножение любого ряда матрицы на число, отличное от нуля.

2. прибавление к элемента одного ряда матрицы элементов другого её параллельного ряда, умноженных на некоторое число.

3. перемена мест любых 2-х рядов матрицы.

Теорема. Ранг матрицы, полученной из данной путём элементарных преобразований, равен рангу данной матрицы.

Метод окаймляющих миноров нахождения рангов матрицы.

Пусть М – минор порядка k матріцы А. Окаймляющим его минором называется минор порядка k+1 этой матрицы, содержащий внутри себя минор М.

Теорема. Если матрица А имеет минор М порядка k, отличный от нуля, и все миноры, окаймляющие этот минор М, равны нулю, то ранг матрицы А=k.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга состоит в следующем: находят минор данной матрицы, отличный от 0 (1 или 2 порядка), затем вычисляют все окаймляющие миноры. Если они все = 0, то ранг матрицы = порядку этого ненулевого минора. Если среди окаймляющих находится один, отличный от нуля, то далее вычисляют все миноры, окаймляющие данный минор, у которых все окаймляющие миноры = 0. Ранг матрицы будет = порядку этого ненулевого минора.

13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.

Линейной системой уравнений наз-ся система вида:

(1)

Матрица, составленная из коэффициентов системы, наз-ся основной матрицей системы. Матрица вида:

А̃= называется расширенной матрицей системы.

Вводят столбцы:

Используя введённые обозначения, линейную систему (1) можно записать в т. н. матричном виде: A∙X=H (2)

Матричное равенство (2) равносильно системе (1) согласно правилам умножения матриц.

Упорядоченное множество чисел С₁, С₂, …, С_n наз-ся решением системы (1), если после подстановки этих чисел уравнение системы вместо неизвестных х₁, х₂, …, х_n каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.

Столбец решений:

Если линейная система ур-ий имеет одно единственное решение, эта система наз-ся определенной.

Если система имеет не одно решение, то неопределенной.

Если не имеет решений, то наз. несовместной.

Если имеет хотя бы одно решение, то совместной.

Две системы, имеющие одинак. множ-ва решений (т. е. когда каждое решение одной из них является решением другой), наз. равносильными, или эквивалентными. => 2 несовместные системы эквивалентны.

Элементарные преобразования над системой:

1) умножение любого ур-я на любое число, отличное от 0.

2) прибавление к обеим частям одного из ур-й системы обеих частей другого ур-ния, умноженных на любое число.

3) перемена мест ур-й системы.

Очевидно, что элементарные преобразования над системой соответствуют элементарным преобразованиям над строками её расширенной матрицы.

Очевидно, что в результате элементарных преобразований над системой получается система, равносильная исходной.

Формулы Крамера

Рассмотрим линейную систему из n уравнений относительно n неизвестных:

(3)

Основная матрица этой системы будет квадратной.

Ее определитель наз. определителем системы.

Систему можно записать в матричном виде: A∙X=H (4). Если определитель ∆=detA≠0, то система наз-ся невырожденной. В этом случае основная матрица системы имеет обратную А^-1, кот. может быть найдена по формуле:

 

Умножим обе части матричного равенства (4) слева на матрицу А^-1; получим А^-1АХ= А^-1Н, учитывая, что А^-1А=Е, ЕХ= А^-1Н, а т. к. ЕХ=Х, то имеем Х= А^-1Н (5).

Это равенство даст решение системы (3) в матричной форме.

Перепишем равенство (5) в развернутом виде

Отсюда, по правилу умножения матриц, имеем , где (j=1,2, …,n).

В скобках правой части стоит сумма произведения чисел h₁,h₂,…,h_n на алгебраические дополнения j-столбца матрицы А.

Согласно теореме замещения, это выражение = определителю кот. получается из определителя ∆ заменой в нем j-того столбца на столбец из свободных членов

(6)

Эти формулы наз-ся формулами Крамера, где ∆-определитель системы, ∆j-определитель, который получается из определителя системы заменой в нем j-того столбца на столбец из свободных членов.

Таким образом, мы показали, что любая невырожденная система из n уравнений относительно n неизвестных имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера.

 

Метод Гаусса

(Метод последовательного исключения неизвестных)

Этот метод рассмотрим на примере невырожденной системы 3х уравнений из 3х неизвестных

1. Прямой ход метода Гаусса.

1) Записываем расширенную матрицу, соответствующую этой системе

=>

2) При помощи преобразований эквивалентности, приводим эту матрицу к так называемой трапециевидной форме.

=> =>

2. Обратный ход метода Гаусса.

Записываем линейную систему, соответствующую новой расширенной матрице. Эта система будет равносильна исходной.

      

из системы: х₃=3, подставим во 2е уравнение: 3х₂=3-3∙3=6, х₂= 2, подставим х₂ и х₃ в 1е уравнение: х₁-2+3=2, х₁=1.

Понятие базиса. Координаты.

Базисом в пространстве называют любые 3 некомпланарных вектора. Из следствия (каковы бы на были 3 некомпланарных вектора  любой вектор  пространства может быть представлен в виде  (2), где α, β и γ – некоторые числа) вытекает, что любой вектор пространства может быть представлен в виде суммы произведений некоторых чисел на векторы базиса. Числа α, β и γ в равенстве (2) называются координатами вектора  в базисе .

Очевидно, что любая пара некомпланарных векторов образует базис на плоскости. Любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации 2-х базисных векторов. Можно показать, что любой вектор может быть разложен по данному базису единственным образом.

Система координат (СК). Считается, что в пространстве задана СК, если задан базис и некоторая точка, которая называется началом координат. СК позволяет задать координаты любой точки пространства. Координаты точки определяются как координаты вектора, проведённого из начала координат в данную точку.

Проекцией вектора  на прямую в пространстве называется отрезок АВ на этой прямой, где точка А₁ является проекцией точки А на эту прямую, а точка В₁ – проекцией на неё точки В.

Осью будем называть направленную прямую. Проекция вектора  на ось = произведению длины этого вектора  на cos угла, образованного данным вектором и осью.

 

Эллипс.

 Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояния от которых до 2-х данных точек, наз. фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

 

 

MF₁+MF₂=2a

Можно привести к виду: a²-c²= b²; можно ввести обозначения, т к по определению a>c.

Найдём точки пересечен. эллипса с координатн. осями. Для этого полагаем:

 x=0,  , y=±b

 y=0,   x=±a.

Величина b наз. малой полуосью эллипса, а- большой полуосью.

Отношение с/a=E называется эксцентриситетом, т к с<0, E<1.

В частности, когда полуоси эллипса равны a=b=R

x²+y²=R² - частный случай эллипса.

Гипербола

Гиперболой наз-ся множество точек плоскости, разность расстояний от которых, взятая по модулю до 2 данных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

                                         

                            M(x;y)

                                           y                   

 

      F1(-C;0)    F2(c;0)

 

После упрощения это уравнение принимает вид: - каноническое уравнение гиперболы, где введено обозначение (c>a)

Найдем точки пересечения гиперболы с координатными осями. Предположим:

y=o

Точки пересечения с осью Оу нет.

 

 

                  -а     а

 

2 оси симметрии.

Одна пересекает, другая нет. Ось симметрии, пересекающая гиперболу, наз-ся её действиетльной осью. В нашем случае, это ось Ох, ось Оу- мнимая ось.

Предел переменной величины.

 Постоянное число a наз. пределом переменной величины x, если для любого сколько угодно малого числа Е> 0 можно указать значение переменной величины x такое, что для всех её послед. значений будет выполняться неравенство │х-а│<E, а – такое число, что все последующие переменные будут лежать в этом интервале. limx=a. Частным случаем понятия предела переменной величины явл. понятие предела числовой последовательности. Число а наз. пределом числовой последовательности x₁,x₂,…,x_n, если для любого сколько угодно малого числа Е>0 можно указать такой номер N, что для всех n>N, справедливо неравенство: |Хn-a|<E.

Постоянное число а есть предел переменной х, если для любой сколько угодно малой E окрестности числа а можно указать значение переменной х такое, что все последующие ее значения будут лежать внутри этой окрестности.
40. Ф-ция и её предел.

Если каждому значению одной переменной величины х ставят в соответствие единственное значение другой переменной величины у, то переменную у наз-ют зависимой переменной или функцией от х, а переменную х при этом наз-ют независимой переменной, или аргументом. y=f(x), y=φ(x), y=y(x). Функция y=f(x) наз-ся монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если большему значению её аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Постоянное число b наз-ся пределом функции y=f(x) при x стремящемся к а, если для любого сколько угодно малого числа ε>0 можно указать число δ>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству ׀x-a׀<δ(∆) будет выполняться условие ׀f(x)-b׀<ε.

 Lim_х→аf(x)=b

y

b+ε

b

b-ε

        a- δ a a+ δ

 

Геометрически это означает следующее: число b наз-ся пределом функции y=f(x) x→a, если для любой сколько угодно малой Е окрестности числа b можно указать ∆ окрестность числа а такую, что если значение аргумента х? этой δ-окрестности, то значение функции y=f(x) будет принадлежать заданной E окрестности. Заметим, что переменная величина х не может иметь двух пределов.

Основные теоремы о пределах

В следующих теоремах мы не будем указывать, к чему → х, предполагая, что либо х→а либо х→∞.

Т-ма1: Предел алгебраич. суммы конечного числа ф-ций = алгеб. сумме их пределов: lim (f₁(x) + f₂(x) + … + f_n(x)) = lim f₁(x) + lim f₂(x) + … + lim f_n(x);

Т-ма 2. Предел произведения конечного числа ф-ций = произведению их пределов:

lim (f₁(x) * f₂(x) * … *f_n(x)) = lim f₁(x) * lim f₂(x) *… * lim f_n(x);

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim C f(x)= C limf(x); C=const.

Предел частного 2-х ф-ций = частному их пределов, если предел знаменателя отличен от 0:

при условии, что lim g(x) ≠0.

Если для 2-х ф-ций выпол-ся нера-во f(x)>g(x), то для их пределов справедливо нера-во: lim f(x) ≥ lim g(x)

Если переменная величина возрастающая и она ограничена, то эта переменная величина имеет предел.

Первый замечательный предел

Ф-ция  при x→0 имеет предел =1, т.е.  

Доказательство:

 

                                        

 

Рассморим окружность единичного радиуса: OA=OB=1, S_{тр. ОBА}=1/2 ОА*BD=1/2OA*sinx*OB=1/2sinx

S_{тр. ОСА}=1/2 ОА*СА = ½ tg x

S_{сект.ОВА}= 1/2ОА*х=1/2x

Из чертежа видно, что S_{тр. OBA}<S _{сект.ОВА}<S_тр.ОСА;

1/2 sin x<1/2 х<1/2tgx;

 sin x<х<tgx

Разделим все части неравенства на sinx:

 

Заменяем выражения на обратные

Перейдем к пределу при х→0

Предел переменной  заключён м-ду пределами переменных =1. Это возможно если . (док-во для случая x>0)

Однако, т.к. cos(-x)=cosx и => доказанный предел будет справедлив также и для отриц. х.

График ф-ции  имеет вид:

При х=0 ф-ция не определена, но пределы в точке 0 слева и справа совпадают. Они = 1.

Второй замечательный предел

Т-ма: Предел переменной величины (1+1/n)ⁿ при неограниченном возрастании n, сущ. и равен иррациональному числу е≈2,71…

(1)

Определение. Показательную ф-цию e^x наз. экспонентой и часто обозначают exp(x)= e^x

log_e наз. натуральным log и обозн. lnx=log_ex.

Установим связь между натур. и десят. log. Для этого воспользуемся равенством: пусть y= lgx=log₁₀x – это значит, что x=10^у. Прологарифмируем обе части по основанию е.

ln x = ln 10^y= y ln10

ln x= 1/M lg x

Можно показ., что предел (1) справедлив не только для послед-тей, но и для ф-ций, а именно

ln x = ln 10* lg x

Число  называется модулем перехода от натур. log к десятичным:

lg x = M ln x

Сделаем замену переменных x=1/y, тогда предел примет вид y=1/x при х→∞, y→0; последний предел может быть записан в виде:

Непрерывность ф-ции

Пусть ф-ция y=f(x) определена в некот. окрестности точки х₀, включая саму точку х₀.

Пусть f(x₀)=у₀, дадим переменной х приращение Δх, тогда переменная y получит приращение

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Определение. Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной при x=x₀ (или в точке x₀ ), если она определена в некот. окрестности точки x₀, вкл. саму точку x₀ и если сущ. предел:

Другими словами, ф-ция непрерывна, если малым приращениям аргумента Δх соответ. малое приращение ф-ции Δу.

Последнее равенство можно переписать в сл. виде:

 или

 обозначим х= х₀+ Δх, тогда при Δх→0 х→х₀, тогда имеем:

Т.е., чтобы перейти к пределу непрерыв. ф-ции f(x) при х→х₀, достаточно аргумент этой ф-ции заменить на х₀. Учитывая очевидное равенство , можем записать:

Последнее равенство означает, что можно переходить к пределу под знаком непрерывной ф-ции, т. е., если ф-ция непрерывна, то знаки ф-ции и предела можно менять местами.

Если для некот. ф-ции не выполняется хотя бы 1 из требований непрерывности в некот. точке х₀, то ф-ция наз. разрывной в этой точке, а х₀ наз. точкой ее разрыва.

Разрывность ф-ции графически означ. разрыв ее графика.

 

Классификация точек разрыв

Определение. Если ф-ция f(x) такова, что сущ. конечные пределы и , но либо ф-ция f(x) не определена в точке х₀, либо не все 3 числа f(x₀), f(x₀-0), f(x₀+0) = друг другу, то точка х₀ - точка разрыва 1 рода ф-ции f(x).

В частности, если пределы слева и справа в этой точке совпадают f(x₀-0)=f(x₀+0), но ф-ция в точке х₀ не определена, то точка х₀ называется устранимой точкой разрыва (её можно устранить, положив ; после чего, определенная т.о. ф-ция будет непрерывной)

Определение. Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва 1-го рода называются точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2-го рода относят точки ∞го разрыва.

Используя св-ва пределов можно док-ть следующие утверждения: 

1. Сумма 2-ых непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция;

2. Произведение 2-х непрерывных ф-ций – ф –ция непрерывная;

3. Частное 2-х непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция, если знаменатель не обращается в 0.

4. Если ф-ция u=u(x) непрерывна в точке х₀, а ф-ция у=у(х) непрерывная в точке u₀=u(x₀), то сложная ф-ция y(u(x)) – непрерывная в точке х₀

Используя эти утверждения можно док-ть сл. теорему:

Всякая элементарная ф-ция непрерывна в любой точке, в кот. она определена.

Производная сложной ф-ции.

Пусть дана сложная ф-ция y=f(х), т.е y=y(u), где u=u(x), т.е y=y(u(x)), x-независимая переменная, u -промежуточный аргумент.

Теорема. Производная сложной ф-ции y=y(u(x)) = произведению производной ф-ции y по промежуточному аргументу U на производную от промежуточного аргумента по независимой переменной x т.е y_x’=y_u’∙U_x’.

Док-во. Пи определённом значении x u=u(x), y=y(u), при значении x=x+∆х, y+∆у=y(u+∆u), где u+ u=U(x+ x); По определению производной  . Ф-ция отличается от своего предела на ∞ малое слагаемое т.е . Умножим обе части равенства на ∆U. Тогда . Разделим обе части равенства на ∆х  и перейдем к пределу при ∆х→0.

Т. к. ф-ция U(x) дифференцируема, то она непрерывна. Поэтому при ∆х→0 и ∆U→0. Поэтому

Таким образом, получим y_x’=y_u’∙U_x’. ч.т.д
49. Сравнение бесконечно малых

Пусть одновременно несколько ф-ций α, β, γ… от одного аргумента х явл. ∞ малыми, т.е. →0 при х→а либо при х→∞, далее мы не будем указывать к чему →х, предполагая один из этих случаев. limα=0, limβ=0, limγ=0.

Определение. Если отношение  имеет конечный предел, отличный от 0, , то ∞ малые α и β наз. ∞ малыми одинакового порядка. В этом случае

Определение. Если отношение  2-х ∞ малых →0  (тогда очевидно ), то ∞ малая β наз. ∞ малой высшего порядка относительно ∞ малой α.

Определение. Если сущ. конечный предел (а тогда очевидно, существует и предел ), то ∞ малая β наз. ∞ малой порядка k относительно ∞ малой α.

Определение. Если  (а тогда очевидно, ), то α и β - эквивалентные ∞ малые.

Пример: 2х и sin3х явл. ∞ малыми, при х→0. Действительно,

Найдем пределы отношений

Отсюда следует: эти ∞ малые одинаково порядка.

Т-ма: Если α и β эквивалентные ∞ малые, то их разность явл. ∞ малой высшего порядка относительно α или β.

Док-во: Т.к. α и β эквивалентны, то  (по определению). Найдём предел

Таким образом, α-β – ∞ малое высшего порядка относительно α.

Аналогично можно доказать, что

Справедлива также обратная т-ма: если разность α-β - ∞ малая высшего порядка, чем α, чем β, то α и β – эквивалентные бесконечно малые.

Док-во: если , отсюда следует α~β.

Замечаем: Если отношение 2-х ∞ малых  не имеет предела и этот предел ≠∞, то эти ∞ малые несравнимы в смысле данных выше определений.

Т-ма: Предел отношения 2-х ∞ малых не изменится, если числитель и знаменатель заменить эквивалентными ∞ малыми.

Производная.

Пусть некот. тело движется неравномерно. Пусть закон по кот. измен-ся пройденный путь, в зависимости от времени, опред-ся ф-цией s=s(t). Для опред-ия быстроты движения выводят понятие средней

Мгновенную скорость можно определить как предел

Мгновенная v есть производная от пути по времени.

Пусть дана ф-ция y=f(x). Дадим переменной х приращение Δх. Тогда ф-ция у получит приращение Δу=f(x+Δx)-f(x). Если сущ. предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента, когда приращение аргумента →0, то этот предел называется производной от ф-ции f(x) и обознач. f ’(x). Таким образом, по определению: или

С учетом данного опред. мгновенная v есть v(t)=s’(t)

Обозначения производной: f’(x); у’(x);

В конкретной точке f’(x₀); у’(x₀).

Физический смысл производной – это v изменения ф-ции в зависимости от изменения аргумента. Операция по нахождению производной - дифференцирование.

Найдем производную ф-ции y=cos x по опред-ию производной: дадим ф-ции х приращениеΔх, тогда ф-ция y получит приращение: Δу=cos(x+Δx)-cos x.

Разность косинусов равна

(cosx)’=-sin х

Аналогично можно доказать, что (sin х)’=cos x

С помощью определения производной найдем производную ф-ции у=х². Если х изменяется на Δх, у изменяется на Δу= (х+Δх)²-х²=х²+2хΔх+Δх²-х²=2хΔх+Δх²

 (х²)’=2х. Эта формула является частным случаем более общей (xⁿ)’=nx^n-1

 

Гиперболические ф-ции

При решении многих практических задач е^х очень часто встречается в виде некоторых комбинаций, для кот. используются специальные обозначения.

 - синус гиперболический х.

- косинус гиперболический х.

- тангенс гиперболический х.

- котангенс гиперболический х.

Между гиперболическими ф-циями справедливы многие соотношения, как с тригонометрическими ф-циями.

ch²x-sh²x=1

Обратные гиперболические ф-ции: arshx, archx, arthx, arcthx.

Производные от гиперболических ф-ций нетрудно найти, используя правило дифференцирования экспоненты.

56. Производные функций от lnx и e^x

Y = lnx

(lnx)’=

- обратная по отношению к функции lnx. Y= . X=lny

 

Умножение матриц. Свойства.

А называется согласованной с В, если число столбцов А = числу строк В. Умножать можно только согласованные матрицы. C=A∙B

,

Из согласованности А с В не следует согласованность В с А.

Произведением A_m∙n = (a_ij) на B_m∙n = (b_ij) называется С_m∙n = (с_ij), элементы которой определяются равенством с_ij= a_i1∙b_1j + a_i2∙b_2j + a_i3∙b_3j + … + a_in∙b_nj

(i=1, …, m, j=1, …, k).

Даже в случае, когда матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей А, результат умножения А∙В≠В∙А