Действительные числа, переменные велечины

Рационал. число - число, кот. может быть представлено в виде отношения 2 целых чисел, т. е. числа вида p/q, где p и q целые, как положительные так и отрицательн. К рацонал. числам относят и целые числа. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей. Сущ. числа, к-рые не явл. рациональными, к-рые представляются в виде бесконечных непериодических десят. дробей. Множество всех рационал. и иррациональных чисел наз. множеством действительных или вещественных чисел. Можно показать, что между действительными числами и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие (каждому числу можно поставить в соответствие единственную точку; каждой точке можно поставить в соответствие единственное число).

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х наз-ся число

 Переменная величина - величина, кот. может принимать разл. числовые значения. Постоянная величина- величина, числовое  значение к-рой не меняется. Постоянную величину можно рассматривать как частный случай переменой величины, все значения которой совпадают. Совокупность всех числовых значений, к-рые принимает переменная величина, наз. областью изменения этой величины. Частный случай областей изменения: интервал, промежуток – (a,b); отрезок, сегмент [a,b], (a,b], [a,b); промежутки с бесконечным пределом (-∞;b), (a;+∞). Окрестностью числа x₀ наз. любой интервал, содержащий это число.

Эпсилон окрестности (Е) числа x₀ – интервал длины 2Е с центром в точке x₀, т. е. множество значений х, удовлетворяющих неравенству x₀-Е<x<x₀+E.

Переменную величину x наз. упорядоченной переменной величиной, если известна её область изменения и если для любых 2 её значений можно сказать, какое из них явл. предыдущим, а какое последующим. Частным случаем упорядоченной переменной величины явл. числовая последовательность x₁,x₂,…,x_n – бесконечное множество чисел с номерами. Переменная величина наз. монотонно возрастающей (монотонна убывающей), если каждое послед. значение больше (меньше) предыдущего. Переменная величина x наз. ограниченной, если сущ. некоторое число M>0 такое, что для всех значений этой переменной величины выполняется неравенство |x|<М.
37. Поверхности второго порядка.

1)      z

 

 

                                         y

                                   

 

x

 

2) трехосный эллипсоид

                                      

 

 

a, b, с – полуоси

a=с

a=b=c= R

 - уравнение сферы

3)   

Однополостный гиперболоид

 

4)

Двухполостный гиперболоид.

                          

                                                           

5)

pq>0 – элииптический параболоид

 

6)

гиперболический параболоид

7) - эллиптический цилиндр

8) - гиперболический цилиндр

9) =2px – параболический цилиндр

Предел переменной величины.

 Постоянное число a наз. пределом переменной величины x, если для любого сколько угодно малого числа Е> 0 можно указать значение переменной величины x такое, что для всех её послед. значений будет выполняться неравенство │х-а│<E, а – такое число, что все последующие переменные будут лежать в этом интервале. limx=a. Частным случаем понятия предела переменной величины явл. понятие предела числовой последовательности. Число а наз. пределом числовой последовательности x₁,x₂,…,x_n, если для любого сколько угодно малого числа Е>0 можно указать такой номер N, что для всех n>N, справедливо неравенство: |Хn-a|<E.

Постоянное число а есть предел переменной х, если для любой сколько угодно малой E окрестности числа а можно указать значение переменной х такое, что все последующие ее значения будут лежать внутри этой окрестности.
40. Ф-ция и её предел.

Если каждому значению одной переменной величины х ставят в соответствие единственное значение другой переменной величины у, то переменную у наз-ют зависимой переменной или функцией от х, а переменную х при этом наз-ют независимой переменной, или аргументом. y=f(x), y=φ(x), y=y(x). Функция y=f(x) наз-ся монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если большему значению её аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Постоянное число b наз-ся пределом функции y=f(x) при x стремящемся к а, если для любого сколько угодно малого числа ε>0 можно указать число δ>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству ׀x-a׀<δ(∆) будет выполняться условие ׀f(x)-b׀<ε.

 Lim_х→аf(x)=b

y

b+ε

b

b-ε

        a- δ a a+ δ

 

Геометрически это означает следующее: число b наз-ся пределом функции y=f(x) x→a, если для любой сколько угодно малой Е окрестности числа b можно указать ∆ окрестность числа а такую, что если значение аргумента х? этой δ-окрестности, то значение функции y=f(x) будет принадлежать заданной E окрестности. Заметим, что переменная величина х не может иметь двух пределов.