Бесконечно малые и бесконечно большие.Теоремы.

Переменная величина х стремиться к ∞, если для любого сколько угодно большого числа M>0 можно указать такое значение этой переменной величины, что для всех последующих значений переменной величины будет выполняться неравенство |х|>М. Обозначают limx=∞. Если переменная величина х стремится к бесконечности, принимает только + значения (только -), то пишут limx=+∞ (limx=-∞).

Если переменная величина →∞, то она называется бесконечно большой.

Если функция y=f(x) стремится к пределу b, при х→а так, что х при этом принимает только значения меньшие, чем а, то число b₁ наз-ся пределом функции f(x) при x→a слева обознач. . Если f(x) стремится к пределу b₂ (x→a-0), что х при этом принимает значение только больше, чем а, то число b₂ наз-ся пределом ф-ции f(x) справа точки а и обозначается .  

 

 

Можно показать, что если для ф-ции f(x) в точке а оба предела слева и справа существуют и равны друг другу , то предел слева и справа – односторонние пределы. В этом случае существует предел ф-ции f(x) при х→a= b в смысле, определённо ранее.

Функция f(x) стремится к бесконечности, т.е. яв-ся бесконечно большой при х→а, если для любого сколько угодно большого числа М>0 можно указать число ∆ такое, что для всех знач. х удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ будет выполняться условие ׀f(x)׀>M.

Если при этом f(x) принимает только положительные значения, то пишут , если только отриц., то

Функция f(х) называется бесконечно малой при х→а либо при х→∞, если

Теорема. Если функция у=f(х) может быть представлена в виде суммы бесконечно малой функции α(х) и числа b, то limf(x)=b. Справедливо также обратное утверждение: если limf(x)=b, то функция f(x) может быть представлена в виде f(x)=α(x)+b, где α(х) - бесконечно малая функция. Это утверждение справедливо как при х→а, так и при х→∞.

Доказательство для случая х→а.

Пусть f(x)=α(x)+b, где (1), тогда, по определению предела, для любого сколь угодно малого Е>0 можно указать число δ>0 такое, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ будет выполняться неравенство |α(x)-0|<E или |α(x)|<E. Но, согласно равенству (1), α(x)=f(x)-b, тогда из предыдущего нерав-ва имеем: |f(x)-b|<E, а это означает, что . Аналогично доказывается 2 часть теоремы.

Теорема. Если функция α(х) →0 при х→а, т.е. яв-ся бесконечно малой, но не обращается в 0 при х=а, то функция f(x)=1/ α(х)→∞ при х→а, т.е яв-ся бесконечно большой.

Теорема. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малое.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых является бесконечно малым.

Теорема. Произведение бесконечно малой функции α(х) на ограниченную f(х) есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малое.

Теорема. Частное α(х)/f(х) от деления бесконечно малой на функцию f(х) предел которой отличен от 0 есть бесконечно малое.

Основные теоремы о пределах

В следующих теоремах мы не будем указывать, к чему → х, предполагая, что либо х→а либо х→∞.

Т-ма1: Предел алгебраич. суммы конечного числа ф-ций = алгеб. сумме их пределов: lim (f₁(x) + f₂(x) + … + f_n(x)) = lim f₁(x) + lim f₂(x) + … + lim f_n(x);

Т-ма 2. Предел произведения конечного числа ф-ций = произведению их пределов:

lim (f₁(x) * f₂(x) * … *f_n(x)) = lim f₁(x) * lim f₂(x) *… * lim f_n(x);

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim C f(x)= C limf(x); C=const.

Предел частного 2-х ф-ций = частному их пределов, если предел знаменателя отличен от 0:

при условии, что lim g(x) ≠0.

Если для 2-х ф-ций выпол-ся нера-во f(x)>g(x), то для их пределов справедливо нера-во: lim f(x) ≥ lim g(x)

Если переменная величина возрастающая и она ограничена, то эта переменная величина имеет предел.

Первый замечательный предел

Ф-ция  при x→0 имеет предел =1, т.е.  

Доказательство:

 

                                        

 

Рассморим окружность единичного радиуса: OA=OB=1, S_{тр. ОBА}=1/2 ОА*BD=1/2OA*sinx*OB=1/2sinx

S_{тр. ОСА}=1/2 ОА*СА = ½ tg x

S_{сект.ОВА}= 1/2ОА*х=1/2x

Из чертежа видно, что S_{тр. OBA}<S _{сект.ОВА}<S_тр.ОСА;

1/2 sin x<1/2 х<1/2tgx;

 sin x<х<tgx

Разделим все части неравенства на sinx:

 

Заменяем выражения на обратные

Перейдем к пределу при х→0

Предел переменной  заключён м-ду пределами переменных =1. Это возможно если . (док-во для случая x>0)

Однако, т.к. cos(-x)=cosx и => доказанный предел будет справедлив также и для отриц. х.

График ф-ции  имеет вид:

При х=0 ф-ция не определена, но пределы в точке 0 слева и справа совпадают. Они = 1.

Второй замечательный предел

Т-ма: Предел переменной величины (1+1/n)ⁿ при неограниченном возрастании n, сущ. и равен иррациональному числу е≈2,71…

(1)

Определение. Показательную ф-цию e^x наз. экспонентой и часто обозначают exp(x)= e^x

log_e наз. натуральным log и обозн. lnx=log_ex.

Установим связь между натур. и десят. log. Для этого воспользуемся равенством: пусть y= lgx=log₁₀x – это значит, что x=10^у. Прологарифмируем обе части по основанию е.

ln x = ln 10^y= y ln10

ln x= 1/M lg x

Можно показ., что предел (1) справедлив не только для послед-тей, но и для ф-ций, а именно

ln x = ln 10* lg x

Число  называется модулем перехода от натур. log к десятичным:

lg x = M ln x

Сделаем замену переменных x=1/y, тогда предел примет вид y=1/x при х→∞, y→0; последний предел может быть записан в виде:

Непрерывность ф-ции

Пусть ф-ция y=f(x) определена в некот. окрестности точки х₀, включая саму точку х₀.

Пусть f(x₀)=у₀, дадим переменной х приращение Δх, тогда переменная y получит приращение

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Определение. Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной при x=x₀ (или в точке x₀ ), если она определена в некот. окрестности точки x₀, вкл. саму точку x₀ и если сущ. предел:

Другими словами, ф-ция непрерывна, если малым приращениям аргумента Δх соответ. малое приращение ф-ции Δу.

Последнее равенство можно переписать в сл. виде:

 или

 обозначим х= х₀+ Δх, тогда при Δх→0 х→х₀, тогда имеем:

Т.е., чтобы перейти к пределу непрерыв. ф-ции f(x) при х→х₀, достаточно аргумент этой ф-ции заменить на х₀. Учитывая очевидное равенство , можем записать:

Последнее равенство означает, что можно переходить к пределу под знаком непрерывной ф-ции, т. е., если ф-ция непрерывна, то знаки ф-ции и предела можно менять местами.

Если для некот. ф-ции не выполняется хотя бы 1 из требований непрерывности в некот. точке х₀, то ф-ция наз. разрывной в этой точке, а х₀ наз. точкой ее разрыва.

Разрывность ф-ции графически означ. разрыв ее графика.

 

Классификация точек разрыв

Определение. Если ф-ция f(x) такова, что сущ. конечные пределы и , но либо ф-ция f(x) не определена в точке х₀, либо не все 3 числа f(x₀), f(x₀-0), f(x₀+0) = друг другу, то точка х₀ - точка разрыва 1 рода ф-ции f(x).

В частности, если пределы слева и справа в этой точке совпадают f(x₀-0)=f(x₀+0), но ф-ция в точке х₀ не определена, то точка х₀ называется устранимой точкой разрыва (её можно устранить, положив ; после чего, определенная т.о. ф-ция будет непрерывной)

Определение. Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва 1-го рода называются точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2-го рода относят точки ∞го разрыва.

Используя св-ва пределов можно док-ть следующие утверждения: 

1. Сумма 2-ых непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция;

2. Произведение 2-х непрерывных ф-ций – ф –ция непрерывная;

3. Частное 2-х непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция, если знаменатель не обращается в 0.

4. Если ф-ция u=u(x) непрерывна в точке х₀, а ф-ция у=у(х) непрерывная в точке u₀=u(x₀), то сложная ф-ция y(u(x)) – непрерывная в точке х₀

Используя эти утверждения можно док-ть сл. теорему:

Всякая элементарная ф-ция непрерывна в любой точке, в кот. она определена.