Линейнонезависимые системы векторов.

Векторы  наз-ся линейно зависимыми, если существуют числа  среди которых хотя бы одно отлично от 0, то вып-ся равенство: (1).

Векторы  наз-ся линейно независимыми, если равенство (1) вып-ся только если .

Заметим, что если хотя бы один из данных векторов не яв-ся нулевым, то эти векторы линейно зависимы.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов яв-ся их коллинеарность. Док-во:

1. Докажем необходимость. Пусть векторы  линейно зависимы, то есть справедливо равенство , где хотя бы одно из чисел, например, ≠0. Тогда имеем: , откуда следует, что эти векторы коллинеарны.

2. Достаточность. Пусть  коллинеарны, тогда, согласно теореме из предыдущего параграфа, .

. Причем, коэффициент перед вектором а₁ отличен от нуля. Тогда, согласно определению, эти векторы линейно зависимы. Очевидно, что если 2 вектора не коллинеарны, то они линейно независимые.

Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

Определение. 3 вектора наз-ся компланарными, если они лежат в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3 векторов яв-ся их компланарность.

Теорема. Любые 4 вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы. Следствие. Каковы бы ни были 3 некомпланарных вектора , любой вектор  пространства может быть представлен в виде αa+βb+γc=d, где α, β, γ – некоторые числа

18. Векторы в трехмерном пространстве.

Вектором наз-ся направленный отрезок       (Вектор приложен к точке А). Для обозначения длины вектора исп-ют символ І І (ІАВІ).

Вектор наз-ся нулевым, если его начало и конец совпадают.

Векторы наз-ся коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора наз-ся равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

a≠b         a≠b          a=b

22. Декартова прямоугольная система координат.

В качестве базиса декартовой прямоуг. сист. координат выбирают 3 взаимно перпендикулярных вектора , единичной длины

Удобно пользоваться координатными осями. x, y, z – декартовы координаты вектора а. .

Координаты любой точки М пространства определяют как координаты вектора r, проведённого из начала координат в точку. Можно показать, что декартовы координаты вектора = его проекциям на координатные оси.

Координаты точки декартовой системы координат = отрезкам, отсекаемым проекциями точки на координатных осях.

Модуль вектора

Понятие базиса. Координаты.

Базисом в пространстве называют любые 3 некомпланарных вектора. Из следствия (каковы бы на были 3 некомпланарных вектора  любой вектор  пространства может быть представлен в виде  (2), где α, β и γ – некоторые числа) вытекает, что любой вектор пространства может быть представлен в виде суммы произведений некоторых чисел на векторы базиса. Числа α, β и γ в равенстве (2) называются координатами вектора  в базисе .

Очевидно, что любая пара некомпланарных векторов образует базис на плоскости. Любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации 2-х базисных векторов. Можно показать, что любой вектор может быть разложен по данному базису единственным образом.

Система координат (СК). Считается, что в пространстве задана СК, если задан базис и некоторая точка, которая называется началом координат. СК позволяет задать координаты любой точки пространства. Координаты точки определяются как координаты вектора, проведённого из начала координат в данную точку.

Проекцией вектора  на прямую в пространстве называется отрезок АВ на этой прямой, где точка А₁ является проекцией точки А на эту прямую, а точка В₁ – проекцией на неё точки В.

Осью будем называть направленную прямую. Проекция вектора  на ось = произведению длины этого вектора  на cos угла, образованного данным вектором и осью.