Обратная функция и её дифференцирование.

Пусть дана монотонная функция y=f(x) (монотонно возрастающая или монотонно убывающая). Для определённости рассмотрим монотонно возрастающую функцию.

Тогда различным значениям аргумента х₁ и х₂ соответствуют различные значения функции: y₁=f(х₁) и у₂= f(х₂). Причём, это справедливо только для монотонной функции. Т.е. для монотонной функции существует взаимно однозначное соответствие между значениями х и y.

Каждому значению y соответствует единственное значение х и в данном случае формально можно считать, то переменная х является функцией от y.

X=φ(y).

Эта функция X=φ(y) называется обратной по отношению к функции y=f(x).

Теорема: Если для функции y=f(x) существует обратная функция X=φ(y), имеющая в некоторой точке у производную φ’(y), то ф-ция y=f(x) имеет производную в соответствующей точке X=φ(y), кот. может быть найдена по формуле

Доказательство: Дадим приращение ∆у, тогда переменная х получит приращение ∆х=φ(х+∆х)-φ(х).

В силу монотонности f(x) и φ(х), ∆у≠0 и ∆х≠0.

Т.к. в этом случае

Перейдём в обеих частях этого равенства к пределу при ∆х→0, тогда и ∆у→0.

Имеем: . ч.т.д.

 

Обратные тригонометрические функции и их производные

Функция y=sin x монотонно возрастает на отрезке .

При этом она изменяется на отрезке [-1;1]. Поэтому на отрезке [-1;1] существует обратная ей ф-ция, кот. обозначается x=arcsiny

Найдём производную. Пусть у=arcsinх, тогда х=siny. х’_y=cosy, тогда , таким образом

Аналогично можно ввести функцию, обратную ф-ции y=cosx. Cos является монотонной ф-цией на отрезке [0;π]. Обратная ф-ция обозначается y=arccosx, определена на отрезке [-1;1].

Рассуждая аналогично, можно показать, что

Функция у=tgx монотонна при  и определена на интервале (-∞;+∞); обратная функция y=arctg x определена на интервале (-∞;+∞).

Ф-ция у=arcctgx, обратная по отношению к ф-ции у=ctgx, имеет производную, определяемую формулой.

 

Гиперболические ф-ции

При решении многих практических задач е^х очень часто встречается в виде некоторых комбинаций, для кот. используются специальные обозначения.

 - синус гиперболический х.

- косинус гиперболический х.

- тангенс гиперболический х.

- котангенс гиперболический х.

Между гиперболическими ф-циями справедливы многие соотношения, как с тригонометрическими ф-циями.

ch²x-sh²x=1

Обратные гиперболические ф-ции: arshx, archx, arthx, arcthx.

Производные от гиперболических ф-ций нетрудно найти, используя правило дифференцирования экспоненты.

56. Производные функций от lnx и e^x

Y = lnx

(lnx)’=

- обратная по отношению к функции lnx. Y= . X=lny