Методы расчета электростатических полей.

Рассчитать ЭСП, при заданном распределении заряда, которое это поле возбуждает, это значит найти распределение E и D в исследуемом пространстве. Прямое решение этой задачи, т.е. нахождение E и D, математически трудно, потому что каждая из них имеет три компоненты (x,y,z), поэтому задачу не решают в лоб, а вводят специальную дополнительную функцию φ - скалярный электрический потенциал, и определенным образом связан с E и D. Рассчитав φ и используя заданное распределение зарядов, находят E и D. Это была прямая задача расчета полей, есть и обратная задача, по заданному распределению E и D находят распределение зарядов, обеспечивающих требуемые E и D. Наиболее общим является метод интегрирования уравнения поля, как правило, самый трудоемкий, в некоторых частных случаях используют более упрощенный метод наложения, метод основанный на применении теоремы Гаусса, метод зеркальных отображений, метод конформных преобразований и графический метод.

1) Метод интегрирования уравнения поля:

Вводим в рассмотрение электрический потенциал, он подчиняется (описывается) уравнением Пуассона, если в исследуемом пространстве есть заряды:

- Уравнение Пуассона

Либо уравнению Лапласа, когда зарядов нет:

- уравнение Лапласа.

В уравнении Лапласа решать проще, чем Пуассона, поэтому если в исследуемом пространстве есть области с ρ, можно получить решение для области пространства, не содержащих эти заряды, используя более простое уравнение Лапласа, нежели Пуассона.

Решение состоит в интегрировании этих уравнений, но при этом нужно учитывать граничные условия. Точка нулевого потенциала задается произвольно, в большинстве случаев в бесконечность, при анализе результатов необходимо учитывать, что E, должна принимать конечную величину.

2) Метод наложения:

Аналогичен методу наложения в цепях. Предположим, что мы не забыли формулу для потенциала и напряженности точечного заряда:

где dQ- заряд создающий поле, R-расстояние м/у точкой, в которой потенциал равен dφ и точкой нахождения dQ.

Напряженность созданная этим элементарным зарядом:
где - радиус вектор(единичный вектор) отправленный от точки с зарядом dQ, к точке в которой рассчитывается dφ.

Пусть в пространстве распределен заряд. Распределение его задано, разобьем его на элементарные заряды dQ, которые находятся в определенных точках пространства с известными координатами, затем по Кулону рассчитываем поля, созданные каждым dQ по отдельности. Окончательный результат получим наложением полей элементарных зарядов друг на друга, математически это называется интегрированием.

Зная dφ, можно найти E по формуле: , либо проинтегрировать формулу Кулона:  

3) Метод зеркальных отображений:

Используется в случае, когда заряды находятся вблизи границы двух разных сред. Идея метода: разнородность сред учитывается введением фиктивных зарядов противоположного знака, зеркально расположенных относительно раздела, причем исследуемое пространство заменяется на однородное.