Численные методы расчета нелинейных цепей постоянного тока.

(Итерационный метод)

Итерация – повторение.

Суть метода: сначала задаются произвольными значениями тока или напряжения и производят расчет цепи. По полученным результатам производят уточнение значения тока и напряжения на нелинейном элементе и повторяют расчет цепи. По результатам расчета делают следующее уточнение тока и напряжения на нелинейном элементе и производят расчет цепи. Расчет выполняется до тех пор пока не будет достигнута требуемая точность.

Пример: предположим, что в цепи кроме линейной части представленной источником ЭДС и линейным сопротивлением, есть нелинейное сопротивление R = f(I). Решение ищем по ВЗК.

[1] – внешняя характеристика цепи.

Нелинейный элемент для мгновенных значений можно описать законом Ома:  [2]

Здесь мгновенные значения – значения токов и напряжений для разных режимов работы (не путать с мгновенным значением синусоидального тока).

Решение должно удовлетворять [1]и [2]. Его можно получить графическим методом.

Сначала решим графически: построим кривые (1) и (2) и найдем точку пересечения.

По итерационному методу:

· Задаются ориентировочно значения напряжения на н.э. (нулевой шаг), пусть нулевой шаг равен U₀ = E₁, затем по кривой (2) находят соответствующий ток.

· По уравнению [1], подставляя туда I_0, находят уточненное значение напряжения U₁ (делаем первое приближение). По кривой (2) находят уточненное значение тока I₁

· I₁ подставляем в уравнение [1] и находим уточненное значение U.

По кривой (2) уточняем ток и т.д.

Решение прекращается когда

Не для всех задач в ходе приближения решение будет стремиться к истинному значению, например точка А.

В курсе высшей математики доказывается, если

, то решение задачи будет сходиться, если выполняется ^*_.

Докажем, что для точки А решение сходится:

r_д – дифференциальное сопротивление.

В нашем случаем r_д будем считать равным r_дин. Требуется доказать, что r_д > r_в. Из графика следует, что r_д пропорционален тангенсу угла наклона , а r_в пропорционален тангенсу угла β. Для точки А  > β, следовательно tg > tgβ, т.е. r_д > r_в, что и требовалось доказать.

Возьмём режим соответствующий точке е. Для этого режима , поэтому r_д < r_в и условие сходимости * не выполняется, т.е. решение расходится. Поэтому для точки е необходимо использовать другую расчетную схему. Её уравнения получаем из [1], разрешив его относительно тока.

F(I) – расчетное уравнение.

Алгоритм:

1. Нулевое приближение.

Задаемся значением тока I­₀ и по кривой (2) находим U₀.

2. U₀ подставляем в уравнение [3] и делаем первое приближение, находим I₁. По нему и кривой (2) уточняем U₁.

3. U₁ подставляем в [3] и находим

По кривой (2) находим U₂  и т.д.

Условие сходимости здесь будет другое:

 

Кроме сходимости важное значение имеет скорость сходимости. Она зависит от рациональности выбранных нулевых приближений (U_0, I₀), а так же от схемы расчета.