Электростатическое поле и его свойства.

ЭСП - создается неподвижными зарядами в непод-ой системе координат, заряды могут быть 4-х типов: 1) точечные 2) распред-е по поверхности σ 3)объемно распределенные с плотностью ρ 4)линейно распределённые с плотностью τ.

ЭСП- описывается уравнениями Максвелла, но они упрощаются:

Из уравнения  следует, что оно описывает магнитное поле созданное током, поэтому для ЭСП оно не работает.

Из ур-я →

Из ур-я  →

Ур-е  не работает

 

 

, т.к. тока нет

Из (2’) следует, что вихрей поля нет, поэтому это поле безвихревое или несолиноидально. Из (3’) следует, что ЭСП- поле потенциальное. Рассчитать ЭСП, значит найти значения основных векторов  во всех точках исследуемого пространства.

В общем случае  имеют по 3 комп-ты (x, y, z), поэтому получаем необх-ть решения задачи с 6-ю неизв-ми, чтобы этого избежать (которое возможно только для простейших задач) эту задачу разбиваем на 2 более простых задачи. На первом этапе рассч-ют всего лишь 1 скалярную величину –φ (потенциал), которая связана с реальной напряж-ю поля формулой: . Эту формулу решают на втором этапе. Знак «-» показывает, что φ убывает в направлении линии поля. Обратное соотношение для потенциала в какой-то точке А определяется как:

, здесь P- точка в которой φ принимается равным 0.

Отсюда видно, что потенциал - это работа, совершаемая силами ЭСП при переносе единичного заряда из (.)А в (.)P.

Величина этого интеграла не зависит от вида пути (пути интегрирования).

Представление  через φ позволяет свести систему ур-й для Е и D к 1-му уравнению:

-считаются постоянными величинами, т.е. исследуемые пространства рассматриваем по однородным областям.

 

 

 

-Уравнение Пуассона.

 

Оно справедливо в случае, когда в исследуемом пространстве есть заряд плотностью ρ.

Другие формы записей:

Где - оператор Гамильтона

  ∆-оператор Лапласа.

Если в иссл-ом прост-ве нет эл-х зарядов, то ур-е Пуассона превращается в ур-е Лапласа:

.

В декартовых координатах, уравнение Лапласа имеет вид:

Проанализируем (8): Чтобы левая часть была равна 0, какая-то из производных должна быть отрицательной, это означает, что внутри иссл-го прост-ва не может наблюдаться экстремумов векторов поля (φ), т.к. в экстремуме все вторые производные >0.

Вывод: Если есть экстремум, то он находится на границе.

ЭСП - изображается в виде картины, состоящей из эквипотенциальных поверхностей и линий поля ().

Эквипотенциальные поверхности определяются уравнением: φ=const.

Линии поля пронизывают эти поверхности под углом ,  направлены по касательным к этим линиям, на картине эквипотенциальная поверхность проводится так, чтобы разности потенциалов между соседними поверхностями были одинаковы, поле больше в тех местах, где эквипотенциальные поверхности гуще.

Эквипот-е повер-ти не пересекаются, т.к. φ- функция однозначная. Следы этих поверхностей на рисунке называются эквптнцми линиями или линиями равного пот-ла (эти линии замкнутые), а линии  начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных.

Вывод: Если в ЭСП находится проводник, то внутри него поля нет, поверхность проводника имеет одинаковый потенциал, т.е. является поверхностью равного потенциала, на этом свойстве основано электростат-е экранирование.

 

Граничные условия в электростатическом поле

Пусть ЭСП создается неподвижными зарядами в среде состоящей из двух областей 1 и 2.

Нормальная составляющая  на границе двух сред (1 и 2) изменяется скачкообразно на величину σ, где σ - поверхностная плотность зарядов распределенных на границе. () Если на границе заряда нет (σ=0), то скачка нормальной составляющей не будет.

На границе тангенциальная составляющая  скачка не имеет, т.е.  

На границе потенциал непрерывен:φ₁=φ_2.

Допустим, что 1 среда непроводящая, а 2 проводник: Тогда учитывая, что ЭСП не может существовать внутри проводника (  и потенциал второй среды (проводника) φ₂=const. Относительно первой среды и принимая во внимание граничные условия () и в первой среде нет так же тангенциальной составляющей, т.е.  .

Учитывая материальные уравнения, можно записать , т.е. -будет себя вести как  

Тангенциальные составляющие  и , линии  будут подходить к поверхности проводника, под углом .