Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме

Здесь используется частная производная, т.к. в общем случае Ф и В зависят и от времени и от координаты.

Рассмотри постулат Максвелла (теорема Гаусса) в интегральном виде:

q  - общий заряд внутренней области, учитывающий как свободные, так и связанные заряды.

Обозначим объем пространства ограниченного поверхностью s – V, тогда заряд элементарного элемента:

ρ – плотность заряда.

Предположим, что заряд внутри объема распределён равномерно

 – объем элементарного элемента пространства.

Тогда постулат Максвелла:

Разделим это выражение на :

Постулат Максвелла в дифференциальной форме:

               (16)

Уравнение характеризует то, что линии электрического поля (D) начинаются и кончаются на зарядах.

В отличие от ротора, дивергенция – алгебраическая скалярная величина.

Дивергенция – пространственная производная векторной величины.

По аналогии можно записать в дифференциальной форме уравнение непрерывности магнитного потока:

               (17)

Данное выражение показывает, что линии магнитного поля (B) всегда замкнуты, т.к. магнитных зарядов в природе нет.

Материальные уравнения поля такие же, как и в интегральной форме записи (*)

Из уравнений видно, что (14) и (16), (15) и (17) взаимосвязаны друг с другом. Одно описывает возникновение электрического поля, другое – магнитного.

Поэтому при решении задач система уравнений должна включать по одному уравнению из этих двух пар. Для решения конкретной задачи уравнения поля записываются в определенной системе координат. Если исследуемое пространство характеризуется цилиндрической симметрией, то уравнения поля записываются в цилиндрической системе координат, если – сферической симметрией, то в сферической системе координат. Если симметрии нет, то уравнения записываются в декартовой системе координат.

Составляющие первого уравнения Максвелла:

                (18)

Видим, что в отличие от задач расчета цепей здесь нужно рассчитать три компоненты плотности тока.

Запишем в декартовых координатах закон непрерывности Ф.

              (19)

(18) и (19) полностью описывают ЭМП в декартовой системе координат.

Мы рассматривали идеализированный случай, на практике исследуемое пространство содержит разные области с различными характеристиками. Поэтому, чтобы решить диф.уравнение нужно задать граничные условия. Они определяют поведение поля при переходе границы между областями.

Так как характеристики поля могут меняться с течением времени мы должны знать их начальные значения. Это относиться только к нестационарным полям, в которых вектора поля не зависят от времени.

Граничные условия

Уравнения ЭМП в интегральной форме справедливы даже в тех случаях, когда исследуемое пространство разнородно (состоит из различных областей с разными ), т.е. содержат границы между этими областями (поверхности разрыва). На этих поверхностях параметры сред изменяются скачкообразно, следовательно Е и Н тоже изменятся скачком.

В интегральном подходе свойства всех областей усредняются и мы получаем только средние оценки Е и Н.

Если нужно знать распределение ЭМП в точках исследуемого пространства используем дифференциальные уравнения, но они «работают» только при условии, что величины Е и Н изменяются непрерывно, поэтому расчет ЭМП производится для каждой области пространства по отдельности используя реальные значения ее .

Затем производят стыковку этих решений по границе, используя граничные условия.

Введем два понятия:

 

E_n – нормальная составляющая напряженности электрического поля

E_ – касательная (тангенциальная) составляющая напряженности ЭП

Сказанное справедливо и для ; ;

Рассмотрим поведение этих составляющих на границе раздела двух разнородных сред. Пусть есть две среды 1 и 2.

В исследуемом пространстве существует ЭМП. Покажем нормальные составляющие D_n1,J_n1;D_n2,J_n2 и тангенциальные составляющие E_1H_1; E_2H_2

Граничные условия:

Хар-ка границ	Составляющие векторов поля
	Касательная	Нормальная
1;2	E1= E2	Dn1- Dn2=  Dn1=Dn2 (=0)
μ1;μ2	H1= H2	Bn1=Bn2
γ1;γ2		Jk1=Jk2

1 случай – две диэл-е среды. В этом сл. Касательные будут одни и те же.  – плотность заряда на границе.

2 сл. – взаимодействуют два ферром-ка

3 сл. – граничат 2 проводника.

Таблица хорошо иллюстрирует (случаи, когда на границе нет пов-но распр-х источников поля) так называемый закон преломления силовых линий.

Выражая сост-е векторов поля через θ₁ и θ₂ (см. прямоугольный треугольник) и используя материальные уравнения ЭМП, приходим к след-м соотношениям: - з. преломления

=>, что среде с большими значениями  линии векторов поля имеют большой угол наклона к нормали (это объясняет то, что ток течет по проводнику, Ф по магнитопроводу и практически не уходит в окр-й воздух. Этот з-н используется при построении картины поля, на которой изображаются линии поля. Здесь: чем эти линии гуще, тем ЭМП больше.