Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрическое распределение
Геометрическое распределение выражается следующим образом: (5.7.1) Название распределения связано с тем, что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным q=1- p. Действительно . Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событие А имеет вероятность p, тогда число опытов X до первого появления события А как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первых n-1 опытах событие А не произойдет, равна (1- p) n-1. А вероятность появления его при n -ом испытании равна p. Отсюда получаем вероятность реализации такой серии событий равна . Математическое ожидание . Дисперсия .
Биномиальное распределение
Дискретная случайная величина X, принимающая значения xm= m, где m = 0,1,…, n, имеет биномиальное распределение, если вероятности её значений определяются следующей формулой: . (5.5.1) Здесь - число сочетаний из n по m, а параметр p имеет смысл вероятности, то есть . Это распределение связано с повторением опытов. Если в результате опыта событие А имеет вероятность p и опыт повторяется n раз, то вероятность того, что это событие произойдет m раз, рана . Действительно, конкретная реализация n испытаний, в которых событие A произошло m раз, а противоположное событие соответственно n- m раз, имеет вероятность . Но m событий среди n испытаний могут распределиться равновозможными способами. Отсюда и получается формула (5.5.1). Сумма , так как q=1- p а . Выражение является членом разложения бинома Ньютона (p+ q) n, поэтому это распределение называется биномиальным. Математическое ожидание . (5.5.2) Дисперсия . (5.5.3) Квадратичное отклонение . (5.5.4) Если n устремить к бесконечности и одновременно p к нулю так, чтобы выполнялось соотношение , где а положительная константа, то в пределе , а это известное распределение Пуассона. То есть в пределе при и биномиальное распределение совпадает с распределением Пуассона.
Распределение Пуассона
Рассмотрим дискретную случайную величину Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …
Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определённое значение m, выражается формулой где а – некоторая положительная величина, называемая параметром распределения Пуассона. Ряд распределения по закону Пуассона:
Убедимся, что суммарная вероятность равна единице. Но Следовательно Рис.5.6.1. Полигон распределения Пуассона.
Вычислим вероятность того, что Х окажется больше 0: Математическое ожидание Т.е. параметр а - есть математическое ожидание. Дисперсия Но Следовательно . . Вывод. Дисперсия равна математическому ожиданию. Это свойство часто используют для определения, распределена ли случайная величина Х по закону Пуассона. Рассмотрим типичную задачу. Пусть на оси Ох случайным образом распределяются точки. Пусть распределение удовлетворяет следующим условиям: 4. Вероятность попадания какого-либо числа точек в отрезок l зависит только от длины отрезка, но не от положения на оси. На единичный отрезок попадает в среднем l точек. 5. Точки распределяются независимо. 6. Вероятность совпадения двух точек равна нулю (чем точки ближе, тем вероятность меньше). Выделим на оси отрезок длиной l и рассмотрим дискретную случайную величину Х – число точек, попадающих в этот отрезок. Возможные значения Х: 0, 1, 2, …, m, … Докажем, что случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на участок l попадёт m точек. На участок Dх попадёт l Dх точек. Это математическое ожидание. Поскольку участок Dх мал, то попадание двух точек в один отрезок пренебрежимо мало и l Dх есть вероятность попадания одной точки на участок Dх. Пусть существует число n, такое, что . Тогда вероятность попадания в один отрезок равна . А вероятность попадания в m отрезков равна
Обозначим , тогда . Что и требовалось доказать. Мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где точки располагаются случайно друг от друга и подсчитывается их количество, попавшее в какую-то область. Мы рассмотрели одномерный случай, но его легко можно распространить на любую размерность. Например, если для отрезка оси параметр а равен , то для плоского случая (здесь S - площадь области), а для объёмного (V – объём области). Докажем, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения. Причём параметр . Предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде: Если подставить , то получим , что уже было доказано. При большом n приближённо вероятность можно считать: . Из-за малой вероятности события закон Пуассона носит название “закона редких явлений”.
|
||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 36; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.10.239 (0.01 с.) |