Геометрическое распределение

 

       Геометрическое распределение выражается следующим образом:

                         (5.7.1)

Название распределения связано с тем, что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным q=1- p. Действительно

.

Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событие А имеет вероятность p, тогда число опытов X до первого появления события А как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первых n-1 опытах событие А не произойдет, равна (1- p) ^n-1. А вероятность появления его при n -ом испытании равна p. Отсюда получаем, что вероятность реализации такой серии событий равна .

       Математическое ожидание

.

       Дисперсия

.

Распределение Паскаля

       Распределение Паскаля дискретной случайной величины Х выражается так:

,                              (5.8.1)

где p и k – параметры распределения. Параметр p имеет смысл вероятности, то есть . Параметр k – целое положительное число.

       Математическое ожидание

.

       Дисперсия

.

       Это распределение связано, как и геометрическое, с повторением опытов.

Если p – вероятность события А  в одном опыте, то до появления этого события k раз потребуется всего k+ x испытаний, где конкретное значение x имеет вероятность (5.8.1).

       Это распределение обобщает геометрическое распределение. То есть если k =1, то распределение Паскаля совпадает с геометрическим. Действительно, если в (5.8.1) подставить k =1, то получим

,

что совпадает с геометрическим распределением (5.7.1), если положить, что

x= n-1

и учесть, что .

 

 

Гипергеометрическое распределение

       Гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины Х выражается так:

,                             (5.9.1)

где N, n, k – целые положительные величины, играющие роль параметров распределения, причем , .

       Это выражение уже встречалось нам раньше в связи с выборкой размера n из партии деталей размером N, в которой k- число дефектных деталей. Тогда x - число дефектных деталей в выборке из n  деталей, а (5.9.1) – вероятность этого значения.

       Математическое ожидание

.

       Дисперсия

.

Формула Стирлинга

       При расчетах вероятностей в дискретных распределениях часто приходится вычислять выражение n!, например,

.

Стирлинг вывел удобную для практических расчетов приближенную формулу

.                                            (5.10.1)

Эта формула особенно удобна при больших n но она дает хорошее приближения и при малых n. На пример при n=2 n!=2, а формула (5.10.1) дает значение 1.9. При n=4 точное значение 4!=24, а приближенное 23.5. При n=8 8!=40320 а приближенное значение 39902.4 с относительной ошибкой 0.01. 

 

Непрерывные распределения

Нормальное распределение

Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Он характеризуется плотностью вероятности вида:

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид (см. рис.6.1.1)

 

Рис.6.1.1. Графики плотности нормального распределения при различных значениях квадратичного отклонения s.

 

Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке ; по мере удаления от точки m плотность распределения падает и стремится к оси абсцисс.

       Докажем, что m - есть математическое ожидание, а s – есть среднее квадратическое отклонение. Для этого вычислим основные числовые характеристики случайной величины Х.

Применим замену переменной

Первый интеграл равен нулю. Второй представляет собой интеграл Эйлера-Пуассона:

Следовательно, . На практике параметр m часто называют центром рассеивания.

       Вычислим дисперсию Х:

Та же замена переменной:

Интегрирование по частям дает D(X)                                     

Первое слагаемое равно нулю, второе , откуда

Геометрический смысл: m – центр симметрии кривой плотности распределения; s - характеризует степень рассеивания случайной величины и одновременно расплывчатость кривой, поскольку площадь, ограниченная кривой плотности всегда равна единице. Размерность m и s совпадает с размерностью случайной величины Х. Выведем общие формулы для центральных моментов любого порядка.

Делаем замену переменной

Интегрируем по частям:

Первый член в скобках равен нулю. Получаем:

Но момент степени S-2:

Следовательно

Т. е. можно выражать чётные моменты через моменты на 2 порядка ниже. Нечетные моменты в силу симметрии распределения равны нулю. Т. е. для чётных моментов имеем:

Общая формула для момента порядка S при чётном S:

,

где под  понимается произведение всех нечётных чисел от 1 до S -1.

       Асимметрия:

       Эксцесс:

Т.е. эксцесс характеризует крутость конкретного закона распределения по отношению к нормальному.

       Вычислим вероятность попадания случайной величины Х, подчинённой нормальному закону с параметрами m, s на участок от a до b.

где F(x) – функция распределения величины Х.

Замена переменной

Этот интеграл сложный, но существуют специальные таблицы для функций:

 

Ф^* есть нормальная функция распределения. Её таблицы приведены в приложениях учебников и задачников.

       Свойства функции Ф^*:

Учитывая последнее свойство, рассмотрим вероятность попадания на участок, симметричный, относительно математического ожидания.

*

       Решим следующую задачу. Отложим от математического ожидания четыре отрезка длиной s и вычислим вероятность попадания случайной величины Х в каждый из них.

Вероятностью попадания в четвёртый участок уже практически можно пренебречь. Сумма же вероятностей для первых трёх равна 0,5 с точностью до 0,01 (1%). Т. е. можно сказать, что в интервале  укладывается практически всё рассеивание. Такой способ оценки диапазона возможных значений называется правилом трёх сигм. Это правило позволяет грубо оценить величину s. Берут максимально возможное отклонение и делят его на три.

       Часто (особенно в артиллерийской практике) для характеристики рассеяния кроме среднего квадратичного отклонения используют вероятное (срединное) отклонение, обозначается Е или В.

       Вероятным (срединным) отклонением случайной величины Х, распределённой по нормальному закону, называется половина длины участка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в который равна 0,5.

       Т. е. вероятность попадания в интервал  равна 0,5.

Выразим Е через s:

Показательное распределение

 

Плотность и функция показательного распределения положительной случайной величины T выражаются формулами:

 

                         (6.2.1)

 

соответственно, а – параметр распределения. График плотности представлен на рис.6.2.1. В литературе это распределение называют также экспоненциальным.

 

 

Рис6.2.1. График плотности показательного распределения при различных значениях параметра a.

       Математическое ожидание

.

    Дисперсия

.

    Квадратичное отклонение

,

то есть для показательного распределения математическое ожидание и квадратичное отклонение совпадают.

Этот закон широко используется в теории надежности благодаря свойству "отсутствия памяти" (марковскому свойству), которое значительно облегчает выкладки и упрощает расчетные формулы. Суть свойства в том, что вероятность безотказной работы объекта в заданном интервале не зависит от времени предшествующей работы.

Показательный закон является предельным для вероятности безотказной работы сложных систем, если система состоит из элементов, каждый из которых отказывает и восстанавливается независимо, но при отказе хотя бы одного элемента простаивает вся система. Такая ситуация на практике весьма распространена. Она имеет место, например, для сложных станков, автоматических линий и др.