Моменты, дисперсия, квадратичное отклонение

Кроме рассмотренных выше характеристик положения используются и другие числовые характеристики случайной величины, характеризующие степень разброса, форму распределения и др. Для этого используют моменты распределения.

       Начальным моментом s-го порядка называется сумма вида:

 

для дискретной случайной величины и интеграл:

                                                  (5.2.1)

для непрерывной случайной величины.

    Нетрудно убедиться, что математическое ожидание – это первый начальный момент, а математическое ожидание s-той степени Х – это начальный момент порядка s случайной величины Х. То есть

.                                   (5.2.2)

       Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания:

.                                                  (5.2.3)

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

    Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

.

Для дискретной случайной величины s-й центральный момент:

для непрерывной:

                                            (5.2.4)

Рассмотрим второй центральный момент.

Аналогично третий центральный момент.

       Вообще говоря, моменты могут рассматриваться относительно произвольной точки а:

Но центральные моменты имеют преимущество: первый центральный момент равен нулю, а второй центральный момент минимален. Докажем это.

Минимум будет при .

       Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Обозначение:

Т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Другие формы записи:

                                      (5.2.5)

Дисперсия есть характеристика рассеивания случайной величины около её математического ожидания. В механике ей аналогичен момент инерции относительно центра тяжести. Формула для расчёта дисперсии:

       Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Чтобы иметь дело с величиной такой же размерности, что и случайная величина, введено среднее квадратичное отклонение (стандарт).

Обозначение:

       Для положительных случайных величин в качестве меры разброса используют коэффициент вариации   n как отношение квадратичного отклонения к математическому ожиданию, то есть

.                                                             (5.2.6)

 

       Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную характеристику, его делят на куб среднего квадратичного отклонения. Получают коэффициент асимметрии или просто асимметрию:

                                                            (5.2.7)

Рис.5.2.1.Иллюстрация к определению ассиметрии. Распределение 1 имеет положиельную ассиметрию, а распределение 2 – отрицательную.

 

       Четвёртый центральный момент служит для характеристики “крутости”, то есть островершинности или плосковершинности распределения. Величина называется эксцессом. Запись:

                                                     (5.2.8)

Рис.5.2.2. Иллюстрация к определению эксцесса.

 

       Кроме начальных и центральных моментов иногда применяются абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами

Первый абсолютный центральный момент называется ещё средним арифметическим отклонением.

Закон равномерной плотности

В некоторых задачах встречаются непрерывные случайные величины, все возможные значения которых лежат в пределах определённого интервала и равновероятны. Говорят, что они распределяются по закону равномерной плотности. Примеры: рулетка, угол поворота сбалансированного колеса и т. д.

       Рассмотрим случайную величину, подчинённую закону равномерной плотности на участке от a до b.

Рис.5.3.1.График равномерной плотности

Плотность распределения f(x) постоянна и равна С на участке от a до b. Вне этого отрезка она равна 0.

Так как площадь под кривой распределения равна 1:

Функция распределения:

Рис.5.3.2. График равномерного распределения.

 

Определим основные числовые характеристики случайной величины с равномерным распределением на участке от a до b.

       Математическое ожидание:

В силу симметричности распределения медиана также равна   Моды у закона равномерной плотности нет.

Дисперсия:

       Среднее квадратичное отклонение:

Асимметрия у симметричного распределения равна нулю.

Для определения эксцесса находим четвёртый центральный момент:

Среднее арифметическое отклонение:

       Найдём вероятность попадания случайной величины Х в участок [ a, b].

Рис.5.3.3. К определению вероятности .

 

Распределение Симпсона

 

       Плотность этого распределения имеет вид равнобедренного треугольника (см.рис.5.4.1).

Рис.5.4.1. График плотности Симсона.

 

       Аналитическое выражение для плотности имеет вид:

При  и  плотность , .

       Математическое ожидание

.

Так как распределение симметрично относительно среднего значения, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Дисперсия

.

Квадратичное отклонение

.

 

Ассиметрия  из-за симметричности распределения.

Четвертый центральный момент

.

Эксцесс .

 

 

Рис.2.2. График плотности экспоненциального распределения при различных значениях параметра a.

Биномиальное распределение

 

       Дискретная случайная величина X, принимающая значения x_m= m, где

  m = 0,1,…, n, имеет биномиальное распределение, если вероятности её значений определяются следующей формулой:

.     (5.5.1)

Здесь

-

число сочетаний из n по m,  а параметр p имеет смысл вероятности, то есть .

Это распределение связано с повторением опытов. Если в результате опыта событие А имеет вероятность p и опыт повторяется n раз, то вероятность того, что это событие произойдет m раз, рана . Действительно, конкретная реализация n испытаний, в которых событие A произошло m раз, а противоположное событие  соответственно n- m раз, имеет вероятность . Но m событий среди n испытаний могут распределиться  равновозможными способами. Отсюда и получается формула (5.5.1).

       Сумма

,

так как q=1- p а . Выражение  является членом разложения бинома Ньютона (p+ q) ⁿ, поэтому это распределение называется биномиальным.

       Математическое ожидание

.                  (5.5.2)

       Дисперсия

.                  (5.5.3)

       Квадратичное отклонение

.                                                      (5.5.4)

       Если n устремить к бесконечности и одновременно p к нулю так, чтобы выполнялось соотношение

,

где а положительная константа, то в пределе

,

а это известное распределение Пуассона. То есть в пределе при  и  биномиальное распределение совпадает с распределением Пуассона.

 

 

 

Распределение Пуассона

 

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …

Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определённое значение m, выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром распределения Пуассона.

Ряд распределения по закону Пуассона:

	0	1	2	…	m
				…

 

Убедимся, что суммарная вероятность равна единице.

Но                                                            

Следовательно                           

Рис.5.6.1. Полигон распределения Пуассона.

 

Вычислим вероятность того, что Х окажется больше 0:

Математическое ожидание

Т.е. параметр а - есть математическое ожидание.

Дисперсия

Но                              

Следовательно .

.

Вывод. Дисперсия равна математическому ожиданию. Это свойство часто используют для определения, распределена ли случайная величина Х по закону Пуассона.

       Рассмотрим типичную задачу. Пусть на оси Ох случайным образом распределяются точки. Пусть распределение удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность попадания какого-либо числа точек в отрезок l зависит только от длины отрезка, но не от положения на оси. На единичный отрезок попадает в среднем l точек.

2. Точки распределяются независимо.

3. Вероятность совпадения двух точек равна нулю (чем точки ближе, тем вероятность меньше).

       Выделим на оси отрезок длиной l и рассмотрим дискретную случайную величину Х – число точек, попадающих в этот отрезок. Возможные значения Х: 0, 1, 2, …, m, …

       Докажем, что случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на участок l попадёт m точек.

       На участок Dх попадёт l Dх точек. Это математическое ожидание. Поскольку участок Dх мал, то попадание двух точек в один отрезок пренебрежимо мало и l Dх есть вероятность попадания одной точки на участок Dх.

       Пусть существует число n, такое, что . Тогда вероятность попадания в один отрезок равна . А вероятность попадания в m отрезков равна

Обозначим , тогда

.

Что и требовалось доказать.

       Мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где точки располагаются случайно друг от друга и подсчитывается их количество, попавшее в какую-то область. Мы рассмотрели одномерный случай, но его легко можно распространить на любую размерность. Например, если для отрезка оси параметр а равен , то для плоского случая  (здесь S - площадь области), а для объёмного  (V – объём области).

       Докажем, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.

Причём параметр .

Предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

Если подставить , то получим

,

что уже было доказано. При большом n приближённо вероятность можно считать:

.

Из-за малой вероятности события закон Пуассона носит название “закона редких явлений”.