Теорема сложения вероятностей

       Вероятность суммы двух несовместимых событий A и В равна сумме вероятностей этих событий:

.                                         (3.1)

Эта теорема обобщается и на случай нескольких несовместимых событий. Пусть  несовместимые события, тогда

.                 (3.2)

Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы.

Следствие 1.Если события А₁,…,А _n образуют полную группу, то вероятность их суммы равна 1:

.

Действительно, , то есть составляют достоверное событие, а .

       Следствие 2. Вероятность суммы противоположных событий  и равна 1:

.                                             (3.3)

Это вытекает из того факта, что  - достоверное событие.

       Формула (3.3) часто используется на практике, так как позволяет определить вероятность прямого события, если известна вероятность противоположного события. Так как они несовместимы, то .

       Теорема сложения вероятностей требует, чтобы исходные события были несовместимы. Если это не так, то для расчета вероятности суммы двух событий А и В применяется следующая формула:

.                        (3.4)

Здесь, чтобы вероятность элементарных событий, входящий в пересечение множеств АВ, не учитывалась дважды, производится вычитание (см.рис.3.3).

Рис. 3.3.Иллюстрация к определению вероятности суммы двух совместимых событий

 

       Если суммируются три совместимых события А,В,С, то вероятность суммы

.

На рис.3.4. дана графическая иллюстрация этой формулы.

 

Рис. 3.4. Иллюстрация к определению суммы трех совместимых событий.

       Здесь чтобы вероятность элементарных событий, входящих в множества АВ, АС и ВС не учитывались дважды, вероятности этих событий вычитаются. В сумме вероятностей  вероятности элементарных событий, входящих в пересечение АВС, учитываются трижды, как и в сумме , по этому, чтобы не потерялись вероятности элементарных событий, вхоящих в АВС, следует прибавитьих вероятность .

Методом индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

Пример 1. В лотерее 1000 билетов. Из них на один билет выпадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов – 100 руб., на 50 билетов – 20 руб., остальные билеты невыигрышные. Вы покупаете один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

    Решение. Рассмотрим события:

А – выигрыш не менее 20 руб.,

А₁ – выигрыш 20 руб.,

А₂ – выигрыш 100 руб.,

А₃ – выигрыш 500 руб.

Очевидно,

По теореме сложения вероятностей

Пример 2. Круговая мишень состоит из трёх зон: 1, 2, 3. При одном выстреле вероятность попадания в 1 зону 0,15, во 2 зону 0,23, в 3 зону – 0,17. Найти вероятность промаха.

    Решение. Обозначим А – промах,  – попадание. Тогда

где  - попадания соответственно в 1, 2 и 3 зоны.

Отсюда

Из приведённых формул для вероятности суммы совместимых событий можно получить и выражения для вероятностей произведения событий:

                    (3.5) (3.6)

Пример 3. Агрегатный станок состоит из 3-х агрегатов: двух агрегатов первого типа – А1 и А2 – и одного агрегата второго типа – В. Агрегаты А1 и А2 дублируют друг друга, т.е. при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат В не дублирован. Для того, чтобы станок прекратил работу (отказал) нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата А1 и А2 или агрегат В. Требуется выразить вероятности отказа станка через суммы вероятностей элементарных событий. Обозначим события, связанные с отказами соответствующих блоков, теми же буквами, но курсивом.

Решение. Отказ станка – событие С.

.

Из формулы (3.4) имеем, что вероятность события С равна

.

Из формул (3.5,3.6) получаем, что

Отсюда получаем, что