Теорема умножения вероятностей

       Для формулировки названной теоремы введем важное для теории вероятностей понятие независимости событий.

    Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А изменяется в зависимости от того, произошло ли событие В или нет.

Пример 1. Опыт состоит из бросания двух монет. Рассмотрим события:

А – появление герба на первой монете;

B – появление герба на второй монете.

В данном случае эти события независимы, так как вероятность появления герба на первой монете никак не зависит от того, что появится на второй монете и наоборот вероятность появления герба на второй монете никак не зависит от того, что выпало на при бросании первой монеты.

    Пример 2. В урне 2 белых и 3 черных шара. Событие А состоит в том, что при вытаскивании первого шара он окажется белым. Событие В состоит в том что при вытаскивании второго шара он тоже окажется белым. Очевидно, что событие В зависит от события А. Если произошло событие А, то событие В имеет вероятность 1/4, так как в этом случае из четырех оставшихся шаров только один белый. Если произошло событие  (вытянут белый шар), то событие В имеет вероятность 1/2.

 

    Условной вероятностью события В называется его вероятность, вычисленная при условии, что произошло событие А. Обозначение .

 Условие независимости событий А и В:

.

    Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

                            (3.7)

    Доказательство для схемы с равновозможными элементарными событиями. Пусть всего m событий. Событию А благоприятны n случаев, а событию В благоприятны k случаев. Число случаев, благоприятных А и В одновременно пусть l. Тогда

Поскольку событие А произошло только в n случаях, то вероятность В:

Таким образом имеем:

Теорема доказана.

    Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то событие В не зависит от события А.

    Доказательство. Дано . Надо доказать, что .

что и требовалось доказать.

    Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

    Если события зависимые, то вероятность каждого следующего события вычисляется из предположения, что все предыдущие имели место.

Для независимых событий имеем:

;

.                            (3.8)

    Пример 3.Продолжим рассмотрение примера 2. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Событие С – появление двух белых шаров; А – появление белого шара при первом вынимании; В - появление белого шара при втором вынимании.

Пример 4. Те же условия, но шары возвращают в урну.

    Пример 5.  Станок состоит из трех узлов, каждый из которых может отказать независимо от других узлов и приводит к отказу всего станка. Вероятность безотказной работы узлов за смену (8 ч работы) равна  соответственно для каждого узла. Определим вероятность безотказной работы станка за смену.

    Решение. Обозначим события

              А – безотказная работа станка в течение смены;

              A₁- безотказная работа первого узла в течение смены;

              A₂- безотказная работа второго узла в течение смены;

              A₃- безотказная работа третьего узла в течение смены.

В этом случае имеем

,

а так как отказы узлов независимы друг от друга, то

    Пример 6. Для обработки детали требуется выполнить последовательно три технологические операции. Вероятность брака при выполнении этих операций равна соответственно p₁, p₂, p_3. Определим вероятность того, что после этих трех операций получим годную деталь.

    Решение. Пусть  - события, состоящие в том, что произошел брак на соответствующей операции, а С – событие, состоящее в том, что деталь годная. Событие С произойдет, если на всех трех операциях не будет брака, то есть

.

Так как события эти события А₁,А₂,А₃  независимы, то

,

но  (i= 1,2,3), поэтому

.

 

    Пример 7. Система числового управления (ЧПУ) станком состоит из четырех блоков, из которых второй блок дублирует первый, а четвертый – дублирует третий. Если происходит отказ основного блока, то автоматически происходит переключение на резервный блок. Все блоки и переключатели могут независимо друг от друга отказать. Вероятности безотказной работы блоков за заданное время равны соответственно  а вероятность безотказной работы переключателя равна p. Следует определить вероятность безотказной работы системы ЧПУ.

    Решение. Пусть события, соответствующие безотказной работе блоков, есть , а переключателей -  соответственно. Первый и второй блок вместе с переключателем целесообразно рассматривать как обобщенный блок, безотказная работа которого соответствует событию А. Аналогично третий и четвертый блоки со своим переключателем целесообразно рассматривать как второй обобщенный блок, безотказная работа которого соответствует событию В. Эти события независимы друг от друга, поэтому событие С, соответствующее безотказной работе системы ЧПУ, определяется так: , а .

    Определим теперь Р(А) и Р(В). Событие . Аналогично событие . Поэтому

,

а

.

 

    3.4.Формула полной вероятности.

       Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

       Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместимых событий. Будем называть эти события гипотезами. Тогда имеет место следующая формула:

                                (3.9)

Доказательство. Событие А может появиться только в комбинации с какой-либо гипотезой Н _i:

Так как гипотезы несовместимы по условию, то и события  тоже несовместимы и к ним применима теорема сложения вероятностей, то есть

Но по теореме умножения , поэтому получим , что и требовалось доказать.

    Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один чёрный шар; во второй – три белых и один чёрный; в третьей – два белых и два чёрных шара. Выбираем наугад одну из урн и вынимает из неё шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

    Решение. Рассмотрим три гипотезы: Н1 – выбор первой урны; Н2 – выбор второй урны; Н3 – выбор третьей урны и событие А – появление белого шара.

    Пример 2. При обработке детали выполняется три различные технологические операции. Вероятности брака на каждой из трех операций равны: p₁=0.01, p₂=0.012, p₃=0.009 соответственно. Брак можно исправить: c вероятностью q₁=0.5, если он возник только на одной операции; с вероятностью q₂=0.2, если он возник только на двух операциях. Брак неисправим, если он возник на всех трех операциях. Требуется рассчитать вероятность неисправимого брака детали после выполнения всех трех операций.

    Решение. Рассмотрим четыре события (гипотезы):

    H₀- брак на всех операциях не произошел (деталь годная);

    H₁- брак только на одной операции;

    H₂- брак только на двух операциях;

    H₃- брак на всех трех операциях.

Пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей, определим вероятности отмеченных гипотез.

Условные вероятности события А:

.

Пользуясь формулой полной вероятности (3.9), получаем, что

.

 

    3.5.Формула Бейеса или теорема гипотез.

    Пусть имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведён опыт, в результате которого появилось событие А. Как изменятся вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. надо найти .

Окончательно получаем

.                        (3.10)

 

Пример 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надёжность (вероятность безотказной работы) равна 0.95. Если из деталей обычного качества, то 0.7. Прибор испытывался в течение t часов и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы: Н₁ - прибор собран из высококачественных деталей, Н₂ – прибор собран из обычных деталей.

Вероятности этих гипотез до опыта:

В результате опыта наблюдено событие А – прибор безотказно работал время t. Условные вероятности при гипотезах Н₁ и Н₂ равны:

.

По формуле Бейеса находим:

.

Пример 2. Партия деталей обрабатывалась на двух станках, 40% на первом станке и 60% на втором станке. Вероятность брака при обработке на первом станке p₁=0.01, а при обработке на втором станке р₂=0.02. При проверке детали она оказалась бракованной (событие А). Определить вероятность того, что деталь была обработана на первом станке, если не известно на каком станке она обрабатывалась.

Решение. Имеются две гипотезы:

 H₁ – деталь была обработана на первом станке;

 H₂ – деталь была обработана на втором станке.

Априорные (начальные) вероятности этих гипотез

.

Вероятности

.

Пользуясь формулой Бейеса (3.10) получаем:

.

Таким образом, вероятность того, что деталь была обработана на первом станке, равна 0.25.