Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Числовые характеристики распределения
Аналогом математического ожидания в статистике является среднее арифметическое наблюдённых значений случайной величины или статистическое среднее: где n – число опытов. Согласно закону больших чисел при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается к математическому ожиданию. Подобные аналогии существуют для всех числовых характеристик. Будем обозначать их теми же буквами со звёздочкой. Статистическая дисперсия: - статистическое среднее. Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любых порядков: Нетрудно доказать, что для статистических моментов справедливы те же свойства, что и для математических моментов. Например, статистический первый центральный момент всегда равен нулю: Соотношения между начальными и центральными моментами также сохраняются: Если число опытов слишком велико и приходится разбивать их на разряды, то получим приближённые формулы: где - представитель i -го разряда, - частота i -го разряда, k – число разрядов. Оценка параметров распределения
При обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения. Такая задача называется задачей выравнивания статистических рядов и состоит в подборе теоретической плавной кривой распределения, наилучшим образом описывающей данное распределение. Наиболее часто применяется метод наименьших квадратов, при котором сумма квадратов отклонений обращается в минимум. Часто вид случайной функции известен заранее, и нужно лишь определить параметры этой функции. Для решения этой задачи часто применяют различные методы оценки параметров. Чаще всего используют следующие методы: · метод моментов; · метод максимального правдоподобия; · метод минимума хи-квадрата.
Метод моментов. Согласно методу моментов параметры распределения выбираются таким образом, чтобы моменты статистического распределения совпадали с соответствующими моментами предполагаемого закона распределения. Если предполагаемый закон распределения случайной величины X имеет один параметр, то он оценивается в результате решения уравнения
. Если число параметров 2, то приравниваются первые два момента, в результате получаем систему из следующих двух уравнений для оценки неизвестных параметров распределения: , . Если параметров 3, то приравниваются первые три момента и решают систему уже из трех уравнений и так далее. Проиллюстрируем применения этого метода на конкретных примерах. Пример 1. В результате наблюдений за работой станка были получены следующие значения наработки до отказа: . Известно, что наработка на отказ подчиняется показательному распределению с плотностью . (7.4.1) Для этого распределения , а . Таким образом, получаем следующую формулу для оценки параметра a показательного распределения по опытным данным: . (7.4.2) Пример 2. В результате контроля размера X партии из N деталей были получены значения . Требуется оценить по этой выборке параметры распределения, в предположении его нормальности. Плотность нормального распределения имеет вид: . (7.4.3) Это распределение имеет два параметра и , поэтому для их оценки имеем два уравнения, полученные отмеченным выше приравниванием математических ожиданий и дисперсий: (7.4.4) . (7.4.5) Пример 3. Оценим параметры равномерного распределения случайной величины X по выборке . Плотность равномерного распределения задается следующим образом: (7.4.6) В этом случае для оценки параметров a и b метод моментов дает следующие два уравнения: , . В результате решения этой системы получаем: (7.4.7) Пример 4. Случайная величина T имеет гамма распределение с плотностью , (7.4.8) где - параметры, подлежащие оценке. Если - реализаци случайной величины T, то учитывая, что , , получаем: , (7.4.9) где . (7.4.10) Пример 5. Оценим параметры логарифмически нормального распределения случайной величины T по выборке .Плотность распределения
( 7.4.11 ) Математическое ожидание и дисперсия выражаются через параметры a и следующим образом. , Приравнивая теоретические и статистические моменты и решая соответствующие уравнения, получаем: , (7.4.12) . (7.4.12)
Пример 6. Дано статистическое распределение боковой ошибки наводки Х при стрельбе с самолёта по наземной цели. Требуется выровнять это распределение с помощью нормального закона.
Нормальный закон распределения: Решение. Нормальный закон зависит от двух параметров: m и s. Вычислим статистическое среднее: Для вычисления дисперсии определим второй начальный момент (S=2, k=8). Задаём параметры нормального закона: С учётом сглаживания получим вид закона распределения: Можно построить гистограмму и сглаженный график. Пример 7. С целью исследования закона распределения ошибки измерения дальности с помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в виде статистического ряда. Выровнять статистический ряд с помощью закона равномерной плотности. Решение. Закон равномерной плотности выражается формулой и зависит от двух параметров a и b. Математическое ожидание и дисперсия для закона равномерной плотности:
Перенесём начало отсчёта в точку х0=60. Получим таблицу
где x – среднее для разряда значение ошибки дальномера. Статистическое среднее приближённо равно Второй статистический момент равен Статистическая дисперсия: Возвращаемся в прежнее начало Дисперсия та же. Параметры закона равномерного распределения определим из решения системы уравнений. Решение: . Плотность распределения Гистограмма и плотность равномерного распределения показаны на рисунке.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 39; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.116.146 (0.02 с.) |