Вопрос 4. Выводы из суждений с отношениями.

Умозаключения, в которых посылки и заключение представляют собой суждения с отношениями, называются умозаключениями (выводами) из суждений с отношениями.

Примеры:

 

1. А = В                2. 7 больше 5       3. Петр – брат Ивана

В = С                    5 больше 3           Иван – брат Сергея

_______               ____________      __________________

А = С                   7 больше 3           Петр – брат Сергея

 

4. Смоленск севернее Рязани

Рязань севернее Тулы

_______________________

Смоленск севернее Тулы

 

5. Омск расположен между Москвой и Красноярском

Новосибирск расположен между Омском и Красноярском

__________________________________________________

Новосибирск расположен между Москвой и Красноярском

 

Для того чтобы умозаключения из суждений с отношениями были правильными, они должны основываться на некоторых общих логических свойствах отношений, важнейшие из которых – симметричность, рефлексивность, транзитивность.

Отношение называется симметричным, если оно имеет место как между А и В, так и между В и А.

 

                             А R В® B R A

Симметричными являются отношения равенства, сходства, одновременности, различия и другие.

 

Отношение называется рефлексивным, если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе.

 

         А RB®ARAÙBRB

Рефлексивными являются отношения равенства, одновременности, сходства и другие.

Отношение называется транзитивным, если оно имеет место между А и С тогда, когда оно имеет место между А и В и между В и С

                (ARBÙBRD) ®ARD

Транзитивными являются отношения равенства, одновременности, отношения «больше», «меньше», «находится севернее» и т. д.

В тех случаях, когда заключение не опирается на какое-то из этих отношений, оно может быть неправильным. Например, из суждений «Иванов знаком с Петровым» и «Петров знаком с Сидоровым» не следует с логической необходимостью «Иванов знаком с Сидоровым», так как знакомство не является транзитивным отношением.

Литература к теме.

Основная:

1. Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. Гл. 7, с. 144 – 153, гл. 6, с. 141 – 143.

Дополнительная:

2. Брюшинкин В. Н. Практический курс логики для гуманитариев. Гл. 12, с. 182 – 204.

 

Контрольные вопросы и задания к теме:

1. Приведите схемы: а) модуса ponensa, б) модуса tollensa.

2. Приведите схемы: а) модуса ponendotollensa, б) модуса tollendoponensa.

3. Через определение модуса, определите правильность или неправильность следующих умозаключений:

 А) Если он не знает правил логики, то ему не понять в чем здесь заключается ошибка.

     Он понял эту ошибку.

    ___________________________________________________

    Он знает правила логики.

Б) Спартак не станет чемпионом, если в следующем туре проиграет Динамо.

    Динамо в следующем туре не проиграло.

    _______________________________________

    Спартак стал чемпионом.

 

Тема12 Логика предикатов.

Вопросы

1.Функциональная логика. Теория квантификации, кванторная логика

Вопрос 1.

Логика высказываний позволяет формализовать многие доказательства классической силлогистики (например, модус ponens

 

Можно записать в следующей формулировке:  и по таблице истинности доказать тавтологичность этой формулы (истинность при любых значениях переменных А и В).

Но классическая силлогистика категорических суждений не поддается такой формализации, поскольку эта формализация основывается на абстракции цельных, нерасчленяемых высказываний, в то время как категорические суждения строятся на отношениях между субъектом ипредикатом внутри каждого высказывания.

С целью преодоления этого недостатка и была создана логика предикатов, которую часто рассматривают в качестве расширенноговарианта логики высказываний.

В логике предикатов в дополнении к средствам логики высказываний вводятся логические операторы:  («для всех», «каждый»– он носит название квантора общности) и  («для некоторых», «существует» – он носит название квантора существования). Далее вводится бесконечный перечень индивидных переменных: х, у, z, …х1, у 1, z 1… представляющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных:

P,Q, R …P 1, Q1, R 1…, представляющих свойства и отношения объектов.

Наряду с этими переменными могут вводиться индивидные константы,или имена собственные. Запись ( x) Р(х) означает: «Всякий х обладает свойством Р». Запись ( х) Р(х) означает: «Некоторые х обладают свойством Р. Запись х Q(ху) означает: «Существует х, находящийся в отношении Q с У.  

Индивидная переменная, входящая в область действия квантора поэтой переменной называется связанной; переменная, не являющаяся связанной, называется свободной. Так, во всех трех приведенных формулах переменная x –связана, а переменная y (в последней формуле)-свободна. Суждения видов А,Е,I,О в логике предикатов могут быть выражены в такой форме:

А: Все ScутьР: х(если x есть S, то x есть Р, или в формуле: х(S(х)→Р(х). Если всякий предмет обладает свойством S, то он обладает и свойством Р.

Е: Все S не суть Р: Х(если х есть S,то х не есть Р) или . Всякий предмет Х, обладающий свойством S,не обладает свойством Р.

I: Некоторые S суть Р: х(х есть S и х есть Р), или (в формуле):

, существует предмет х, который обладает и свойством S и свойством Р.

О: Некоторые S не суть Р: х(x есть S и x не есть Р) или (в формуле)

Теперь мы можем записать, например, вывод модусов 1-й фигуры силлогизма следующим способом: ААА

Все М суть Р

Все S суть М

-------------------

Все S суть Р 

в формальном виде

Для ЕАЕ:

Для АII

Для ЕIО: