Вопрос 1. Выводы по логическому квадрату.

В практике часто бывают случаи, когда нам известна истинность или ложность одного из типов категорических суждений А, Е, I, О. А нам требуется знать истинность и ложность всех остальных суждений, имеющих тот же субъект и предикат. Например, нам известно, что суждение «Некоторые парты в этой аудитории сломаны» является истинным суждением» (I). Исходя из этого, требуется определить истинность и ложность суждений: «Все парты в этой аудитории сломанные» (А); «Ни одна парта в этой аудитории не является сломанной» (Е); «Некоторые парты в этой аудитории не являются сломанными» (О). Если бы я сейчас задал вам эту задачу, то она отняла бы у вас достаточно много времени и все равно многие ее решили бы неправильно. Между тем в логике есть и теория, и процедура знание которых позволяет почти молниеносно решать подобные задачи формальным образом, не прибегая к содержательным рассуждениям. Эта теория и эта процедура известны как отношения суждений в логическом квадрате или выводы по логическому квадрату.

ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ – это геометрический квадрат, в котором расставлены суждения, имеющие одно и тоже содержание (один и тот же субъект и предикат), но разную логическую форму (т. е. относящиеся к различным типам А, Е, I, О) следующим образом:

 

По теории между суждениями в этом логическом квадрате существуют следующие отношения:

Суждения А и Е называются противоположными или КОНТРАРНЫМИ. Эти суждения подчиняются правилу: КОНТРАРНЫЕ суждения никогда не могут быть вместе истинными. Отсюда следует:

 

А(и) ® Е(л)

Е(и) ® А(л)

В тех же случаях, когда первое суждение оказывается ложным, второе может быть как истинным, так и ложным (т. е. остается неопределенным):

 

А(л) ® Е(неопр.)

Е(л) ® А(неопр.)

 

Суждения I и О называются СУБКОНТРАРНЫМИ суждениями.

Эти суждения подчиняются правилу: СУБКОНТРАРНЫЕ суждения никогда не могут быть вместе ложными. Отсюда следует:

 

I(л) ®О(и)

О(л) ® I(и)

В тех случаях, когда первое суждение оказывается истинным, второе суждение будет неопределенным:

 

I(и) ®О(неопр.)

О(и) ® I(неопр.)

 

Отношения между суждениями А и I, и суждениями Е и О называются отношениями ПОДЧИНЕНИЯ. Общие суждения здесь будут называться ПОДЧИНЯЮЩИМИ, а частные – ПОДЧИНЕННЫМИ. Для этих суждений действует следующее правило: Если ПОДЧИНЯЮЩЕЕ суждение истинно, то ПОДЧИНЕННОЕ ему суждение тоже будет истинным; если ПОДЧИНЕННОЕ суждение ложно, то ПОДЧИНЯЮЩЕЕ его суждение тоже будет ложным. Если мы посмотрим на логический квадрат, то отметим, что может «опускаться», а ложь «подниматься». Символически это можно записать следующим способом:

 

А(и) ® I(и)

Е(и) ® О(и)

I(л) ®А(л)

О(л) ® Е(л)

В тех случаях, когда ПОДЧИНЯЮЩЕЕ суждение будет ложным или ПОДЧИНЕННОЕ будет истинным, суждение, связанное с ним вертикалью квадрата будет неопределенным:

 

А(л) ® I(неопр.)

Е(л) ® О(неопр.)

I(и) ®А(неопр.)

О(и) ® Е(неопр.)

Суждения, расположенные по диагоналям логического квадрата: А ® О и Е® I называются (в паре) противоречащими или КОНТРАДИКТОРНЫМИ суждениями. Отношения между ними подчиняются следующему правилу: КОНТРАДИКТОРНЫЕ суждения никогда вместе не могут быть истинными и никогда вместе не могут быть ложными. Таким образом, расположенные по диагонали квадрата суждения всегда имеют противоположные значения истины и лжи:

 

А(и) ® О(л)

А(л) ® О(и)

Е(и) ® I(л)

Е(л) ® I(и)

I(и) ®Е(л)

I(л) ®Е(и)

О(и) ® А(л)

О(л) ® А(и)

Исходя из этого, можно быстро решить нашу задачу с партами. Нам известно, что суждение «Некоторые парты в этой аудитории сломанные» является истинным. Так как это суждение I, то КОНТРАДИКТОРНОЕ (расположенное по диагонали) суждение Е «Ни одна парта в этой аудитории не является сломанной» будет ложным.

По отношению к суждению А «Все парты в этой аудитории являются сломанными» это суждение будет подчиненным. Истинность подчиненного суждения оставляет неопределенным истинность подчиняющего и таким образом суждение А будет неопределенным. С суждением О «Некоторые парты в этой аудитории не являются сломанными» наше исходное суждение будет находиться в отношениях СУБКОНТРАРНОСТИ, а это означает, что истинность первого не позволяет нам определить истинность или ложность второго, так что суждение О также как и А останется неопределенным.

 

Вопрос 2. Выводы с преобразованием внутренней структуры суждений.

А. ОБВЕРСИЯ (ПРЕВРАЩЕНИЕ). Эта операция является одной из самых распостраненных в практике и доступных в осуществлении. Осуществляется обверсия со всеми типами суждений: А, Е, I, О.

Суть обверсии в том, что мы одновременно меняем связку и предикат на отрицательные, а субъект и его количество остаются неизменными.

В формальной записи и на примерах это выглядит следующим образом:

S a Р® S e Р  

Например, суждение «Все студенты нашей группы являются успевающими» путем обверсии преобразуется в суждение «Ни один студент нашей группы не является неуспевающим».

S e Р®S a Р

Например:

Ни одна захватническая война не является справедливой ®

Все захватнические войны являются несправедливыми

S i Р® S o Р

Некоторые правонарушители являются несовершеннолетними ®

Некоторые правонарушители не являются совершеннолетними.

S o P ® S i P

Некоторые преступления не являются умышленными ®

Некоторые преступления являются неумышленными.

Б. КОНВЕРСИЯ (ОБРАЩЕНИЕ). Эта операция тоже весьма распостранена, но без ограничений ее можно осуществлять только с двумя типами суждений: с общеотрицательными (Е) и с частноутвердительными (I). Суть конверсии заключается в том, что субъект и предикат меняются местами. Все остальное сохраняется.

Формулы конверсии (с примерами):

 

S e P P e S

Ни один суеверный человек не является мужественным

Ни один мужественный человек не является суеверным.

 

S i P P i S

Некоторые слоны живут в Африке

Некоторые из тех, кто живет в Африке – слоны.

 

В. КОНТРАПОЗИЦИЯ (ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ ПРЕДИКАТУ). Эту операцию используют лишь те, кто неплохо разбирается в логике, так как она носит более сложный характер, чем предыдущие. Она заключается в перестановке субъекта и предиката с одновременной заменой терминов на отрицательные. Без ограничений контрапозиция применяется только к общеутвердительным (А) и частноотрицательным (О) суждениям.

Формулы контрапозиции с примерами:

 

S a P P a S, c добавлением обверсииР е S

Все розы приятно пахнут

Все неприятно пахнущее суть не розы, или, с добавлением обверсии,

Все неприятно пахнущее не является розами.

 

                        S o P P o S, или, с добавлением обверсииР i S.

Некоторые любители кошек не любят собак 

Некоторые из тех, кто не любит собак, не являются не любителями кошек. В полученном суждении смысл не совсем ясен, вот тут и может пригодиться добавление обращения: некоторые из тех, кто не любит собак являются любителями кошек. В этом случае смысл суждения вполне доступен. 

 

Г. ИНВЕРСИЯ (ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ СУБЪЕКТУ). Это - относительно редкая операция и не все учебники логики ее раскрывают. Суть инверсии заключается в переходе от общего суждения к частному с одновременным изменением терминов на отрицательные. Применима инверсия только к общим суждениям (А и Е).

Формулы инверсии с примерами:

                        S a P S i P, с добавлением обверсии S o P.

Все приборы с электронными элементами являются сложными в изготовлении 

Некоторые приборы без электронных элементов являются несложными в изготовлении.

С добавлением обращения:

Некоторые приборы без электронных элементов не являются сложными в изготовлении.

 

                        S e P S o P, с добавлением обверсии S i P.

Ни одна березовая роща не является хвойным лесом

Некоторые не березовые рощи не являются не хвойными лесами.

С добавлением обращения:

Некоторые не березовые рощи являются хвойными лесами.

 

Добавление операции обращения в контрапозицию и инверсию не является обязательным. Оно осуществляется в тех случаях, когда смысл выведенного суждения оказывается сложным для восприятия.

 

Литература к теме.

Основная:

1. Иванов Е. И. Логика. С. 165 – 167.

2.Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. Гл. 6, с. 121 – 128.

Дополнительная:

3. Брюшинкин В. Н. Практический курс логики для гуманитариев. Гл. 13, с. 216 – 225.

3. Карпович В. Н. Элементарное введение в формальную логику. Раздел 4, с. 42 – 50.

 

Контрольные вопросы (задачи) к теме:

1. Логический квадрат.

Пусть первое (А) суждение истинно. Что можно сказать об истинности и ложности каждого из следующих (Б, В, Г) суждений:

 

А) Все преуспевающие чиновники – интеллигентные люди.

Б) Ни один преуспевающий чиновник не является интеллигентным.

В) Некоторые преуспевающие чиновники – интеллигентные люди.

Г) Некоторые преуспевающие чиновники не являются интеллигентными людьми.

 

2. Произведите обверсию (превращение) следующих суждений:

А) Некоторые из учащихся вузов – профессиональные спортсмены.

Б) Некоторые приборы без электронных элементов не являются сложными в изготовлении.

 

3. Произведите конверсию (обращение) следующих суждений:

А) Ни один беспечный водитель не является человеком, уважающим других людей.

Б) Некоторые недоступные для простого человека вещи – это автомобили иномарок.

 

4. Произведите контрапозицию (противопоставление предикату) следующих суждений:

А) Все окружности являются замкнутыми кривыми.

Б) Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5.

 

5. Произведите инверсию (противопоставление субъекту) следующих суждений:

А) Все недовольные люди жалуются.

Б) Ни одна березовая роща не является хвойным лесом.