Расчет на прочность при циклически меняющихся во времени напряжениях

Явление усталости. В процессе эксплуатации различного рода конструкций и машин напряжения во многих их деталях многократно изменяются как по величине, так и по знаку.

Действию переменных напряжений подвержены силовой набор и обшивка крыла, оперения и фюзеляжа самолетов, лопасти винтов самолетов и вертолетов, барабаны и покрышки колес транспортных средства, вагонные оси и валки прокатных станов и многие другие детали машин.

Опыт показывает, что детали, подвергнутые воздействию переменных напряжений, разрушаются при напряжениях, значительно меньших предела прочности, а иногда и предела пропорциональности материала.

Явление прогрессирующего разрушения под действием переменных напряжении носит название усталости материала.

Термин усталость не отражает сущности явления, но он был введен еще в прошлом веке и является общепринятым.

В настоящее время в связи с увеличением скоростей движения летательных аппаратов и деталей машин и связанным с этим возрастанием частот изменения напряжений при одновременном росте их уровня (вследствие стремления уменьшить массу конструкции) именно усталость в подавляющем большинстве случаев является причиной разрушения.

Механизм усталостного разрушения. Если уровень переменных напряжений превышает некоторый предел, то в материале детали происходит процесс постепенного накопления повреждений, который приводит к образованию субмикроскопических трещин. По мере наработки длина этих трещин увеличивается, затем они объединяются, образуя первую микроскопическую трещину, под которой понимается трещина протяженностью 0.1-0.5 мм. У корня этой трещины возникает местное увеличение напряжений, которое облегчает ее дальнейшее развитие. Трещина, постепенно развиваясь и ослабляя сечение, вызывает в некоторый момент времени внезапное разрушение детали, которое нередко связано с авариями и тяжелыми последствиями.

Указанный процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных напряжений и деформаций, приводящий к изменению свойств, образованию трещин и разрушению, называется усталостью.

Развитие трещин идет особенно интенсивно, если напряжения изменяются не только по величине, но и по знаку.

Механизм усталостного разрушения чрезвычайно сложен, и многие его детали остаются пока неясными. Реальный металл состоит из большого числа весьма малых по размерам и связанных между собой кристаллов, между которыми имеются поры и неметаллические включения. Кристаллы, как правило, обладают анизотропией.

При действии внешней нагрузки возникает неоднородная напряженность различных зерен, поэтому при переменных напряжениях, даже не превышающих среднего значения предела пропорциональности, в отдельных неблагоприятно ориентированных зернах начинается циклическая пластическая деформация.

Образование первых следов сдвига начинается, как правило, на поверхности детали вследствие облегченных условий деформирования зерен в этой зоне, наличия концентрации напряжений от микронеровностей на поверхности. Кроме этого на поверхности детали обычно действуют наибольшие нормальные и касательные напряжения.

Поверхность усталостного излома детали имеет две совершенно различные зоны (рис.2.27). Одна из них - зона распространения трещины (А) в результате взаимного трения и наклепа от повторяющегося нажатия поверхностей трещины друг на друга имеет гладкую, притертую поверхность.

 

Рис.2.27

Другая зона (Б) даже в случае пластичного материала имеет крупнозернистую структуру, такую же, как и поверхность разрушения образца из чугуна, при одноосном статическом растяжении.

Именно поэтому вначале разрушение при переменных напряжениях приписывали «перерождению» или «кристаллизации» (усталости) материала, делающей его хрупким. Дальнейшие исследования показали, что механические свойства и микроструктура материала около места усталостного разрушения такие же, как и до нагружения детали.

Хрупкий характер разрушения, по виду очень похожий на усталостный, в крупнозернистой зоне, получается при статическом изгибе образца из пластичного материала с острым надрезом. В вершине надреза возникает объемное напряженное состояние, и поэтому развитие пластических деформаций здесь затруднено. Роль такого надреза при переменных напряжениях выполняет первоначальная трещина. Таким образом, по-видимому, одной из главных причин хрупкого характера разрушения в зоне (Б) является трехосное напряженное состояние материала, возникающее на границе трещины.

Усталостное разрушение происходит, как правило, без заметной пластической деформации детали.

Законченной теорией усталостного разрушения еще нет. В настоящее время интенсивно развиваются вероятностные методы расчетов на усталость, как более перспективные и эффективные.

Основные понятия и определения. Характер изменения напряжений во времени отличается большим разнообразием. Часто конструкции испытывают действие нагрузок, случайным образом изменяющихся во времени, или, как говорят, представляющих собой случайный процесс.

В то же время можно привести много примеров, когда напряжения в деталях машин и даже конструкций представляют собой периодическую функцию времени. Напряжения в детали могут изменяться по периодическому закону в некоторых случаях и при постоянной нагрузке. Например, напряжение изгиба в точке A поперечного сечения вала, нагруженного постоянной по величине и сохраняющей свое направление силой P (рис.2.28), за время одного поворота успевает из растягивающего превратиться в сжимающее и снова в растягивающее.

Рис.2.28

Испытания образцов на усталость проводятся на специальных машинах. Наиболее простыми являются машины, предназначенные для испытаний на переменный изгиб с вращением при симметричном цикле изменения напряжений. Схема такой машины, в которой образец работает как консольная балка, представлена на рис.2.28.

При испытаниях на переменное растяжение (сжатие) и переменное кручение применяются машины более сложной конструкции. Обычно эти машины приспособлены для испытаний при асимметричном цикле.

Рассмотрим случаи, когда напряжения в детали изменяются во времени периодически, не затрагивая вопросы усталостной прочности при нерегулярном нагружении. Однократная смена напряжений, т. е. совокупность последовательных значений напряжений за один период, называется циклом. Если максимальное значение напряжений ( или ) и минимальное значение напряжений (  или ) численно равны между собой, но противоположны по знаку, то цикл изменения напряжения называется симметричным (рис.2.
29, а). Если же максимальные и минимальные напряжения не равны между собой, то цикл называется асимметричным (рис.2.29, б, в, г).

Степень асимметрии цикла характеризуется коэффициентом асимметрии:   (2.69). Цикл, минимальное (максимальное) напряжение которого равно нулю, называется отнулевым (пульсационным) и показан на рис.2.29, б, в.

Как показывает опыт, форма цикла переменной нагрузки незначительно влияет на сопротивление усталостному разрушению.

Коэффициент асимметрии симметричного цикла , а для отнулевого .

Величина:   (2.70) - называется амплитудой, а  (2.71) - средним напряжением цикла.

Всякий асимметричный цикл можно представить как результат наложения симметричного цикла на постоянное среднее напряжение.

Опыт показывает, что разрушение материала при переменных напряжениях наступает не сразу, а после многократного изменения нагрузки, причем число циклов, при котором происходит разрушение, оказывается тем меньше, чем выше максимальное напряжение цикла.

Рис.2.29

Экспериментально установлено, что число циклов, при котором происходит разрушение, зависит не только от величины максимального (по абсолютному значению) напряжения, но и от амплитуды колебания напряжений. Чем больше    при одном и том же , тем меньше перемен нагрузки выдержит материал. Поэтому наиболее опасным является симметричный цикл.

Экспериментальным путем также установлено, что для многих материалов существует такое значение максимального напряжения, зависящее от степени асимметрии цикла, при котором материал выдерживает неограниченное число перемен нагрузки (циклов).

Наибольшее по абсолютному значению напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения за бесконечно большое число циклов, называется пределом неограниченной выносливости -  или .

Пределом ограниченной выносливости называется максимальное напряжение, соответствующее заданной (базовой) долговечности - . В качестве базовой долговечности обычно принимают  или  циклов. Пределы неограниченной выносливости обозначаются символами  или  с указанием в индексе значения коэффициента асимметрии цикла, для которого эти величины определялись. Так,  и  представляют собой пределы выносливости при симметричном цикле, а  и  - при отнулевом цикле.

Определение предела выносливости. Предел выносливости материала определяется путем испытания идентичных образцов при различных значениях , но при неизменном коэффициенте асимметрии  и регистрации количества циклов, при котором происходит разрушение каждого образца.

Для этой цели используется партия (не менее 10-30), образцов обычно круглого сечения диаметром 7-10 мм. Во избежание концентрации напряжений образцам придается плавная форма, а поверхность тщательно шлифуется или полируется (рис.2.30).

Предел выносливости зависит от размеров поперечного сечения образца. Поэтому всегда указывается, на образцах, какого диаметра определялась эта усталостная характеристика. Первый образец испытываемой партии нагружается так, чтобы максимальные напряжения превышали предел выносливости при данном коэффициенте асимметрии цикла, и по счетчику на усталостной машине, устанавливается количество циклов, которое выдержал образец перед разрушением.

Рис.2.30

Количество циклов, выдерживаемых образцом или деталью перед разрушением, называется циклической долговечностью.

В каждом последующем образце при том же коэффициенте асимметрии цикла создается максимальное напряжение, меньшее, чем в предыдущем, а также регистрируется число  циклов, при котором эти образцы разрушаются.

Результаты испытаний представляются графически в виде кривой усталости. По оси ординат откладывается  - максимальное напряжение цикла, при котором испытывался образец, а по оси абсцисс - число  циклов, которое выдержал образец перед разрушением.

Обычно на каждом уровне напряжений  испытывается несколько образцов, и по результатам испытаний определяется среднее значение разрушающего числа циклов. Именно это значение  и откладывается по оси абсцисс при построении кривых усталости. Различные виды кривых усталости приведены на рисунках 2.31-2.32.

Эксперименты показывают, что кривая усталости образцов из большинства конструкционных сталей и легких (алюминиевых, магниевых, титановых и др.) сплавов, асимптотически приближается к горизонтальной прямой. Отрезок, отсекаемый этой прямой на оси ординат, определяет предел неограниченной выносливости материала  или  при данном коэффициенте асимметрии цикла  (см. рис.2.31).

Рис.2.31	Рис.2.32

Часто кривые усталости строят в полулогарифмических или двойных логарифмических координатах, откладывая по оси абсцисс логарифм числа циклов , соответствующих разрушению образца, а по оси ординат - максимальное напряжение цикла  или . Кривая усталости в полулогарифмических координатах имеет вид, представленный на рис.2.32. Она состоит из двух прямых, причем вторая прямая почти горизонтальна.

Для сталей предел ограниченной выносливости, определенный на базе  циклов можно принять за предел выносливости, так как если стальной образец выдержал  циклов, то он может выдержать практически неограниченное число циклов. Для цветных металлов за предел выносливости принимается ограниченный предел, определенный на базе от  до  циклов.

При оценке прочности и ресурса элементов конструкций необходимо располагать уравнением кривой усталости. Применительно к сплавам на железной основе хорошее соответствие экспериментальным данным при симметричном цикле нагружения в широком диапазоне долговечности имеет уравнение Стромейра:  (2.72) или  (2.73), где , , ,  - параметры.

Значение параметра  для многих материалов лежит в пределах от 0 до 5 · 10⁴ циклов и его не учитывают, если минимальная долговечность образцов превышает 10⁵ циклов. В этом случае:  (2.74) или  (2.75).

Для аналитического описания левой ветви кривой усталости для указанных материалов используют степенное уравнение:  (2.76) или  (2.77) которое является частным случаем уравнения (2.72) при .

Если испытания на усталость проводят при асимметричном цикле напряжений с постоянным коэффициентом асимметрии  (при изменяющемся среднем значении напряжения цикла ), то в формулах (2.72-2.77) вместо  подставляют максимальное напряжение цикла  и вместо предела неограниченной выносливости при симметричном цикле  подставляют предел неограниченной выносливости при асимметричном цикле . В случае испытаний при  в указанных формулах вместо  подставляют предельную амплитуду цикла , соответствующую неограниченной долговечности.

Результаты экспериментальных исследований показали, что пределы выносливости одного и того же материала при растяжении и кручении меньше предела выносливости при изгибе. Например, при симметричном цикле предел выносливости при растяжении и кручении соответственно: ;  (2.78), где  - предел выносливости при изгибе. В справочной литературе обычно приводятся значения , полученные по результатам испытаний на переменный изгиб.

Были предприняты многочисленные исследования для установления связи предела выносливости  с другими механическими характеристиками материала. Эти исследования показали, что для сталей - , для цветных металлов зависимость менее определенна: , где  - предел прочности материала.

Данные соотношения надо рассматривать как ориентировочные, но они показывают, что предел выносливости для некоторых цветных металлов почти в четыре раза меньше предела прочности.

Вероятностный характер явления усталости.  Усталостное разрушение и особенно его первая стадия носит ярко выраженный статистический характер, так как зависит от индивидуальных особенностей поликристаллического строения каждого образца. Так, даже при самом строгом соблюдении однородности условий испытаний образцы из одного и того же материала при одинаковых максимальных напряжениях разрушаются  при существенно различных количествах циклов. Разброс разрушающих величин циклов может достигать при этом двух и более порядков. Величина разброса увеличивается с уменьшением уровня максимальных напряжений и соответствующим увеличением количества циклов, необходимых для разрушения образца.

В последние годы интенсивно развиваются вероятностные методы расчетов на прочность при напряжениях, переменных во времени. Эти методы основываются на вероятностной оценке рассеяния усталостных характеристик материала, определяемых путем испытания достаточно большой партии совершенно идентичных образцов на различных уровнях максимальных напряжений цикла.

Рис.2.33

Влияние степени асимметрии цикла на сопротивление усталостному разрушению. Предел выносливости материала зависит от степени асимметрии цикла. Эта зависимость изображается графически в виде диаграммы предельных амплитуд, в которой по оси абсцисс откладывается значение среднего напряжения цикла , а по оси ординат - предельное значение амплитуды цикла  (рис.2.33). Диаграммы предельных амплитуд строятся по результатам испытаний на усталость образцов из исследуемого материала.

Если для построения диаграммы предельных амплитуд не имеется достаточного числа экспериментальных точек, то ее строят приближенно.

Рис.2.34

Приближенная, схематизированная диаграмма предельных амплитуд представлена на рис.2.34. Начальный участок диаграммы заменяется прямой, проходящей через две точки А и В, соответствующие предельному симметричному циклу (, ) и предельному отнулевому циклу  (). Такая схематизация была предложена С. В. Серенсеном и Р. С. Кинасошвили.

Тангенс угла наклона верхней прямой к оси абсцисс (рис.2.34) служит количественной оценкой влияния среднего напряжения на предельную амплитуду:  (2.79). Характеристика  называется коэффициентом чувствительности к асимметрии цикла.

Ориентировочные значения  для некоторых материалов:  – для сталей низкой прочности;  – для сталей средней прочности;  – для сталей высокой прочности и алюминиевых сплавов;  – для титановых сплавов.

Влияние концентрации напряжений и масштабного фактора на сопротивление усталостному разрушению. В отличие от случая постоянных во времени напряжений при переменных нагрузках концентрация напряжений вызывает снижение предела выносливости деталей, выполненных не только из хрупких, но и из пластичных материалов.

Влияние концентрации напряжений на предел выносливости зависит от чувствительности материала к концентрации напряжений и учитывается в расчетах с помощью так называемого эффективного коэффициента концентрации.

Эффективным коэффициентом концентрации называется отношение предела выносливости  образца без концентратора напряжений к пределу выносливости  образца с концентратором напряжений, выполненного из того же материала и имеющего такие же поперечные размеры рабочей части, что и первый образец.

Эффективные коэффициенты концентрации для нормальных и касательных напряжений обозначаются соответственно:  (2.79);  (2.80). Эффективные коэффициенты концентрации напряжений больше единицы и обычно меньше теоретических коэффициентов концентрации . Между  и  устанавливается соотношение:  (2.81);   (2.82) где  - коэффициенты чувствительности материала к концентрации напряжений.

Чувствительность материала к концентрации напряжений зависит, прежде всего, от свойств материала и возрастает с повышением предела прочности. Поэтому применение высокопрочных материалов при переменных нагрузках не всегда является целесообразным. Ориентировочные значения  для некоторых материалов:  – для сталей низкой прочности;  – для сталей средней прочности;  – для сталей высокой прочности;  – для алюминиевых сплавов;  – для титановых сплавов.

Как показывает опыт, коэффициент чувствительности зависит также от размеров детали и ее формы. Поэтому в практических расчетах целесообразнее пользоваться эффективными коэффициентами, найденными экспериментальным путем. В справочной литературе имеются графики коэффициентов концентрации напряжений для многих видов концентраторов напряжений.

Необходимо отметить, что концентрация напряжений может быть обусловлена не только очертанием деталей, но и наличием внутренней неоднородности и трещин. Например, чешуйки графита в чугуне являются источниками весьма высокой концентрации напряжений, которая перекрывает эффект внешних концентраторов напряжений.

Предел выносливости зависит также и от градиента напряжений. Градиент напряжений характеризует скорость убывания напряжений по мере удаления от места концентрации напряжений. Чем выше градиент, тем в меньшем объеме материала концентрируются высокие напряжения, тем меньше зерен материала приходится на этот объем и тем меньше вероятность образования здесь усталостной трещины.

Поэтому чувствительность материала к концентрации напряжений несколько уменьшается с увеличением градиента напряжений. При изгибе образцов максимальный градиент напряжений , где  - максимальное напряжение изгиба  – диаметр образца, при центральном растяжении-сжатии градиент напряжений равен нулю. Этим частично объясняются меньшие значения пределов выносливости при центральном растяжении - сжатии, чем при изгибе образцов из одного и того же материала.