Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций

Общие сведения. Как уже известно, статической называется на­грузка, которая весьма медленно возрастает от нуля до своего конечного значения. Ускорения частиц элементов конструкции от такой нагрузки невелики, а потому можно силами инерции пренебречь. При быстро возрастающей нагрузке необходимо учитывать силы инерции, появляющиеся в результате деформации системы; силы инерции необходимо учитывать также при действии нагрузки, вызывающей движение тела с некоторым ускорением. Такие нагрузки, а также вызванные ими напряжения и деформации называются динамическими. К динами­ческим также относятся ударные   нагрузки, хотя при расчете на удар в ряде случаев пренебрегают силами инерции, возникающими в конструкции.

Расчет на действие динамической нагрузки (дина­мический расчет) производят при проектировании частей конструкций, находящихся под действием ударной или вибрационной нагрузки, создаваемой станками, двигателями, молотами и другими меха­низмами и вызывающей колебания сооружений. Мно­гие части машин также находятся под действием динамической нагрузки.

Динамический расчет имеет целью обеспечить необходимую прочность конструкции и не допустить значительных ее деформаций.

При динамической нагрузке любой элемент кон­струкции в каждый момент времени можно рас­сматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил (включая опорные ре­акции), усилий, представляющих собой действие соседних элементов, и сил инерции. Это положение, как известно, но­сит название принципа Даламбера.

Силы инерции, так же как и силы тяжести, представляют собой объемные силы, так как они при­ложены к каждой элементарной частице объема тела. Величина    элементарной силы инерции, дейст­вующей на каждую частицу тела, равна произведению массы   этой частицы на ее ускорение   и направлена противоположно ускорению:  (2.54).

Но масса элементарной частицы равна отношению ее силы тяжести    кускорению   (), т. е. ;следовательно:  (2.55), где  — удельный вес материала;  - объем элемен­тарной частицы.

При расчете стержневых систем объемные силы инерции заменяют силами инерции, распределенными по длине оси каждого стержня, т. е. распределенной погонной инерционной нагрузкой. Интенсивность   этой нагрузки равна отношению ,где  - сила инерции, действующая на элемент стержня длиной .

Подставим в формулу (2.55) вместо   объем элемента стержня длиной , равный :

.

Следовательно,  (2.55), здесь  - площадь поперечного сечения стержня. Интенсивность распределенной инерционной нагрузки выражается в ,  и т.п.

Динамические задачи, приводимые к задачам статического расчета систем. Рассмотрим балку постоянного сечения, подвешен­ную на тросе крана (рис.2.10); эта балка изогнута в результате действия ее собственного веса. После включения двигателя крана сечение   балки, в котором к ней прикреплен трос, начинает подни­маться с некоторым ускорением. Возникают силы инерции, распределенные по длине оси балки. Интен­сивность их определяется формулой (2.55).

Рис.2.10

Деформация изгиба балки невелика по сравнению с ее перемещениями при подъеме. Перемещение каждой точки балки можно представить как сумму перемещения «заданных» - вместе с тросом и перемещения «собственных» - связанные с деформацией балки. Если при этом ускорения «собственных» перемещений малы по сравнению с ускорениями «заданных» перемещений, то влиянием деформаций на распределение сил инерции можно пренебречь и считать эти силы равномерно распреде­ленными по длине балки. Аналогично и при решении ряда других динамических задач можно пренебрегать влиянием деформаций системы. Решение таких задач сводится к статическому расчету от действия известных сил инерции.

Рис.2.11

Рассмотрим расчет вертикального бруса постоян­ного сечения, поднимаемого вверх силой , превы­шающей вес бруса  (рис.2.11, а). Кроме силы   на брус действуют равномерно распределенная по его длине вертикальная нагрузка интенсивностью   от собственного веса бруса и инерционная нагрузка  (рис.2.11, б, в).

Ускорение   направлено в сторону действия силы ,т. е. вверх; нагрузка   равномерно распределена по длине бруса и направлена в сторону, противо­положную ускорению, т. е. вниз.

Составляем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось : , откуда .                                                                                                                                                                                           Нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, отстоящем на расстоянии   от его нижнего конца . Наибольшее напряже­ние возникает в верхнем сечении бруса: .

Рис.2.12

Рассмотрим теперь горизонтальный брус, под­нимаемый вверх силой ,приложенной посередине бруса (рис.2.12, а). Инерционная нагрузка  определяется, как и в предыдущем случае .

Интенсивность полной погонной нагрузки, со­стоящей из собственного веса     и инерционной   нагрузки    равна Т (рис.2.12, б, в): .

Сила  и нагрузка  вызывают изгиб бруса. Эпюры изгибающих мо­ментов   и поперечных сил   показаны на рис. рис.2.12, г, д.

Рис.2.13

Теперь рассмотрим горизонтальный стержень ,постоянного сечения   длиной  (рис.2.13, а), равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси . При равномерном вращении ускорения частиц стержня, расположенных на расстоянии  от оси вращения (центростремитель­ные ускорения), направлены к этой оси и, как известно из курса теоретической механики, опреде­ляются по формуле: , где  - угловая скорость.    

Инерционные силы (центробежные силы) направ­лены по радиусам от оси вращения. Интенсивность их, отнесенная к единице длины стержня:  (2.56). Эпюра   показана на рис.2.13, б.

Формулу (2.56) мож­но использовать при оп­ределении сил инерции, действующих на стерж­невые системы, равномерно вращаю­щиеся вокруг какой-ли­бо оси. Если вращение тела вокруг оси неравномерное, то кроме центробежных сил инерции будут возникать касательные (тангенциальные) силы инерции.

Силы инерции вызы­вают растяжение рас­сматриваемого стержня. Продольная сила   в сечении стержня, расположенном на расстоянии   от оси вращения, равна площади эпюры   на участке от этого сечения до конца стержня: .

Наибольшее значение продольная сила имеет посередине стержня, то есть при . Эпюра продольных сил показана на рис.2.13, в.

Удар

Явление удара наблюдается во всех случаях, когда скорости соприкасающихся тел изменяются в течение очень малого промежутка времени. Напряжения и деформации при ударном нагружении, называемые динамическими, оказываются значительно большими, чем при статическом приложении той же нагрузки. Процесс удара жесткого груза об упругую стержневую систему протекает следующим образом. Сначала груз, движущийся с некоторой скоростью, входит в соприкосновение с системой, причем скорость его движения резко уменьшается. Упругая система приходит в движение. Однако вследствие инерции массы системы ее частицы начинают перемещаться не одновременно. Передний фронт волны движется по системе со скоростью распространения звука в данной среде. В стальных конструкциях волна деформации сжатия-растяжения распространяется со скоростью более 5000 м/с. После соприкосновения груз движется совместно с воспринимающей удар упругой системой, причем скорость их движения по мере роста деформаций и сил упругости системы постепенно уменьшается и становится равной нулю в момент наибольшей деформации. Затем начинается обратное движение, в дальнейшем система совершает колебательные движения. Расчет на прочность и жесткость при ударной нагрузке требует определения напряжений и деформаций системы, воспринимающей удар. При назначении динамических допускаемых напряжений следует учитывать изменение механических характеристик материала. Однако ввиду недостаточной изученности этого вопроса расчет на прочность при динамической нагрузке обычно ведут по статическим характеристикам, то есть условие прочности имеет следующий вид: , где - максимальное расчетное напряжение при ударе.

При ударе возникают деформации двух типов: местные деформации в зоне контакта и общие деформации системы. В дальнейшем рассматриваются только общие деформации системы, и предполагается, что динамические напряжения не превосходят предел пропорциональности материала. Задача определения контактных напряжений в месте удара сложна и не может быть решена простыми методами.

Для приближенного определения напряжений и перемещений сечений в момент наибольшей деформации системы в практических расчетах обычно применяется энергетический метод. Этот метод решения применим в тех случаях, когда скорость ударяющего тела мала по сравнению со скоростью распространения фронта ударной волны, а время соударения значительно больше времени распространения этой волны по всей системе. Указанное ограничение дает основание считать, что при ударе деформации распространяются мгновенно по всей стержневой системе и все ее точки начинают движение одновременно.

Под ударной понимается всякая быстроизменяющаяся нагрузка. При ударном действии нагрузки различные точки системы получают некоторые скорости, так что системе придается кинетическая энергия, которая переходит в потенциальную энергию деформации конструкции, а также в другие виды энергии – прежде всего в тепловую.

Техническая (элементарная) теория удара основана на следующих допущениях:

1.Удар считается неупругим, то есть ударяющее тело продолжает двигаться вместе с ударяемой конструкцией, не отрываясь от нее, то есть имеют общие скорости после удара.

2.Ударяемая конструкция имеет лишь одну степень свободы, и вся масса конструкции сосредоточена в точке удара.

3.Рассеянием энергии в момент удара пренебрегаем, считая, что вся кинетическая энергия ударяющего тела переходит в потенциальную энергию деформации ударяемой конструкции.

4.Ударяемая конструкция считается идеально упругой. Это означает, что зависимость между динамическими усилиями и перемещениями, следует закону Гука.

Назовем отношение динамических и статических перемещений коэффициентом динамичности или динамическим коэффициентом - , где - динамические и  статические смещения точек ударяемой системы. Тогда в соответствии с законом Гука - , где: , - динамические и статические силовые факторы и реакции в конструкции; ,  - динамические и статические напряжения.

Коэффициент динамичности при ударе по безмассовой упругой системе.

Вертикальный удар. Предположим, что груз весом  падает с некоторой высоты  на упругую систему, масса которой мала по сравнению с массой груза. Упругую систему будем считать невесомой (рис. 2.14). Такой системой может быть стержень, балка, ферма и т. д. 

Рассмотрим баланс энергии в момент наибольшей деформации системы при ударе. Сила тяжести груза в процессе падения (с учетом того, что величина веса груза Q в процессе удара не меняется) производит работу: , где:  - динамический прогиб системы (перемещение точки удара) в момент наибольшей деформации. Эта работа расходуется на приращение потенциальной энергии упругой деформации системы - . Приращение потенциальной энергии определим как работу силы реакции упругой системы , возникающей в месте удара. Так как мы считаем, что рассматриваемая система следует закону Гука, то сила  изменяется от нуля до максимального значения, равного , по линейному закону, график изменения представлен на рис. 2.15, а.

Рис.2.14	Рис.2.15

 Работа силы  равна площади заштрихованного треугольника (рис. 2.15, а), таким образом, приращение потенциальной энергии: . 

Приравнивая  и , и учитывая, что   имеем: . Учитывая, что , получаем квадратное уравнение относительно , решая которое определим:  (2.57), где - статическое смещение точки удара упругой системы под действием силы веса . Второй корень с отрицательным знаком перед радикалом соответствует наибольшему отклонению точки удара при возвратном движении.

После нахождения , могут быть определены динамические напряжения и деформации системы, которые, очевидно, будут в  раз больше тех, которые имели бы место в системе при статическом приложении к ней груза . Заметим, что упругие свойства системы, как видно из формулы (2.57) смягчают удар и, наоборот, сила удара тем больше, чем больше жесткость системы.

Другой, более общий вид формулы для коэффициента динамичности можно получить, записывая работу веса груза при ударе как сумму: , где  - кинетическая энергия груза к моменту удара. Снова приравнивая  и , и решая полученное квадратное уравнение относительно , получим:  (2.58). Выражая кинетическую энергию груза  через его скорость  и ускорение свободного падения , получим еще один вариант формулы коэффициента динамичности при ударе:  (2.59). Частный случай ударного нагружения - внезапное приложение груза, когда . В этом случае  и , , т. е. при внезапном приложении нагрузки напряжения и деформации системы в два раза больше, чем при статическом нагружении.

Все приведенные выше выражения коэффициента динамичности выведены для вертикального удара. Определим коэффициент динамичности для других случаев удара.

Вертикальный удар вследствие внезапной остановки движения. Удар вследствие внезапной остановки движения возникает, например, в тросе лифта при внезапной остановке кабины или в балке двигающейся со скоростью , на которой закреплен груз  (рис. 2.16, а).

а.	б.
Рис.2.16

В этом случае в потенциальную энергию упругой деформации системы переходит кинетическая энергия груза: , и работа силы тяжести груза совершаемая на перемещении  (см. рис. 2.16, а) - . Приращение потенциальной энергии системы снова найдем как работу реакции , возникающей в месте. В отличие от рассмотренного выше случая реакция изменяется линейно от начального значения  в начале удара до максимального значения , график изменения представлен на рис.2. 16, б. Работа силы  равна площади заштрихованной трапеции, тогда приращение потенциальной энергии: . Приравнивая  и учитывая, что ,  снова получаем квадратное уравнение относительно : , решение которого дает:  (2.60).

Рис.2.17

Горизонтальный удар. Рассмотрим произвольную упругую систему (например, стержень рис. 2.17) по которой ударяет груз массы , движущийся в момент удара горизонтально со скоростью . В этом случае сила веса груза перпендикулярна перемещению и работы не совершает. В формуле (2.59) следует оставить только слагаемое, связанное с кинетической энергией груза на момент удара, и коэффициент динамичности определится выражением:  (2.61). (Здесь  - такое перемещение точки удара упругой системы, которое она получила бы в случае статического приложения по направлению удара силы веса груза - ).

Рис.2.18

Скручивающий удар. Определение напряжений и деформаций при ударном кручении методически мало отличается от ударного растяжения (сжатия) или ударного изгиба. При ударном кручении применимы описанный выше подход для определения коэффициента динамичности. Например, при ударном скручивании вследствие резкого торможения вала, вращающегося с угловой скоростью , и несущего маховик моментом инерции массы относительно оси вращения  (рис. 2.18). Кинетическая энергия вращения маховика -  переходит в потенциальную энергию упругого закручивания вала , которая вычисляется по известной формуле - , где: - крутящий момент в сечениях вала при ударе;  - длина вала;  - модуль сдвига материала вала; - полярный момент инерции поперечного сечения вала.

Приравнивая , после преобразований, получим формулу для определения коэффициента динамичности при скручивающем ударе: . Динамические касательные напряжения и динамический угол закручивания вала определяются из следующих уравнений:

; .

Влияние массы ударяемой системы на коэффициент динамичности. Учет массы ударяемой системы в технической теории удара всегда приводит к снижению динамических напряжений и деформаций те есть к снижению коэффициента динамичности. В момент удара груза по упругой системе, имеющей массу, система в точке удара и груз приобретают одинаковую скорость, которая по закону сохранения импульса будет меньше скорости груза до удара. При этом часть кинетической энергии груза расходуется на местную деформацию ударяемой системы и груза в месте удара.

Рассмотрим произвольную упругую систему, с закрепленной в месте удара сосредоточенной массой . В момент соударения груз весом , имеющий до удара скорости  и точка удара упругой системы начинают двигаться совместно со скоростью . Величина скорости  определяется из теоремы о сохранении количества движения:  следовательно, она меньше скорости груза до удара.

При определении коэффициента динамичности можно пользоваться полученными ранее формулами (2.57-2.59), только вместо скорости груза до удара в них нужно подставить скорость .  Например, пусть груз весом , имеющий скорость  наносит горизонтальный удар по упругой системе, на которой в месте удара закреплена масса с весом равным весу падающего груза - . В момент удара закрепленная масса и груз будут иметь скорость , тогда по формуле (2.61) - , то есть в 2 раза меньше чем при ударе по безмассовой системе.

В случае, когда необходимо учесть собственную распределенную массу упругой системы ее заменяют условной сосредоточенной массой, которую называют приведенной массой системы. Величина приведенной массы зависит от распределения масс по ударяемой системе и от точки приведения (удара). Условием, из которого определяется величина приведенной массы, является равенство кинетических энергий движения распределенной массы ударяемой системы и приведенной массы после удара.