Напряженное и деформированное состояние в точке тела

Определение напряжений на наклонных площадках. Рассмотрим произвольно нагруженное тело. Выбрав произвольную точку внутри него, выделим вокруг него бесконечно маленький (элементарный) объем. Для определенности примем элементарный объем в виде кубика с гранями параллельными координатным плоскостям произвольной декартовой системы координат (см. рис.2.3). Для определения напряжений на произвольной наклонной площадке проведенной через рассматриваемую точку введем следующую индексацию координатных осей:  – 1,  – 2,  - 3, то есть индексы, имеющие цифровую индексацию, соответствуют указанным координатным осям. Так, например, вектор направляющих косинусов внешней нормали  к наклонной площадке abc и матрица компонент напряженного состояния имеют следующий вид (см. рис.2.3):

(2.1);

(2.2).

Диагональные элементы указанной матрицы представляют собой нормальные напряжения, а не диагональные элементы – касательные напряжения. Тогда компоненты вектора полного напряжения  на наклонной площадке abc по координатным осям определятся из следующего уравнения:  (2.3).  

В развернутой а затем и обычной форме записи, имеем:

(2.4);

(2.5)

Нормальное напряжение на наклонной площадке abc определится проекцией вектора полного напряжения на нормаль из следующего уравнения:  (2.6), где  - транспонированный вектор (2.4). Более подробно уравнение (2.6) можно представить в следующем виде (с учетом закона парности касательных напряжений):

(2.6¢)

Величины полного и касательного напряжения на наклонной площадке abc определяются следующим образом: , .

Рис.2.3	Рис.2.4

  Определение главных напряжений и главных площадок. Если по граням выделенного элементарного параллелепипеда действуют одни только нормальные напряжения, то они называются главными напряжениями, а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками. Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существуют три главные взаимно перпендикулярные площадки (рис.2.4.). Главные напряжения обозначают  или . При этом большее (с учетом знака) главное напряжение обозначается , а меньшее (с учетом знака) обозначается . Различные виды напряженного состояния классифицируются в зависимости от числа возникающих главных напряжений. Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным или объемным (рис.2.4). Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряженное состояние называется двухосным или плоским. Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейным.

Для определения главных напряжений предположим, что площадка abc (рис.2.3) является главной площадкой. Тогда на ней будут действовать только нормальное напряжение, то есть полное напряжение  на этой площадке будет одним из главных напряжения . В этом случае компоненты вектора полного напряжения  можно рассматривать как проекции главного напряжения на оси координат: , , . Подставив это условие в уравнение (2.4), получим:   (2.7).

Эти уравнения можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно направляющих косинусов. В силу известного соотношения:  (2.8), направляющие косинусы не могут одновременно иметь нулевые значения. В этом случае определитель, составленный из коэффициентов системы (2.7) должен быть равен нулю:

(2.9)

 

 

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение третьего порядка:    (2.10), где коэффициенты:  (2.11),  (2.12),  (2.13) - называются инвариантами напряженного состояния в точке, так как они не изменяют своей величины при изменении направления исходной системы прямоугольных координат. Можно доказать существование трех действительных корней уравнения (2.10). На основании этого можно считать, что в каждой точке тела, независимо от его формы и размеров, места приложения, вида и характера нагрузок, существует не более трех взаимно ортогональных главных напряжения.

Для определения положения главных площадок необходимо знать направляющие косинусы нормали к этой площадке. Для их определения следует воспользоваться системой уравнений (2.7). Однако равенство нулю определителя этой системы указывает на то, что не все уравнения системы являются линейно независимыми; одно из них есть следствие двух других. Чтобы сделать систему определенной, надо добавить к ней равенство (2.8). После этого число независимых уравнений становится достаточным для однозначного определения направляющих косинусов.

Рис.2.5

Плоское напряженное состояние. Плоское напряженное состояние имеет место во всех случаях, когда компоненты напряжений параллельны одной плоскости, например, при  не равных нулю, а - равных нулю (рис.2.5).

Главные напряжения определяются из уравнения (2.9):   (2.14). Раскрыв определитель, получим: . Решение  приводит к уже известной главной площадке, перпендикулярной оси z. На этой площадке . Приравнивая к нулю выражение в квадратных скобках, получим квадратное уравнение, решение которого имеет следующий вид:

(2.15)

Эти два решения определяют напряжения на двух остальных главных площадках, параллельных оси z. Какому из найденных трех главных напряжений надо приписать соответствующие индексы, можно решить только после вычислений конкретных значений по формуле (2.15).

Для определения положения главных площадок, параллельных оси z решаем систему (2.7) относительно :

(2.16)

Исключая s, получим: . Отсюда находится тангенс двойного угла, на который нужно повернуть ось , чтобы она совпала с направлением нормали к первой главной площадке:   (2.17).

Обобщенный закон Гука для изотропного тела. Согласно закону Гука в направлении каждого нормального напряжения происходит продольная деформация. Одновременно, согласно эффекту Пуассона, в поперечных направлениях происходят противоположные по знаку деформации. В каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по две поперечной деформации. Складывая эти деформации, получим суммарные относительные удлинения в направлении напряжений :

(2.18).

Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями устанавливается в пределах упругих деформаций законом Гука при сдвиге:  (2.19).

Равенства (2.18), (2.19) являются выражением закона Гука в наиболее общем для изотропного тела случае – при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Выражение закона Гука при плоском и линейном напряженном или деформированном состояниях можно получить из этих уравнений путем исключения из них напряжений или деформаций равных нулю.

С помощью уравнений (2.18) можно вычислить объем элементарного параллелепипеда после деформации:

 или (2.20),

где - объем до деформации. Пренебрегая произведениями деформаций, получим относительное изменение объема:  (2.21). Подставляя в (2.21) выражения линейных деформаций по формулам (2.18), получим выражение относительной объемной деформации:  (2.22).

Выражение (2.22) показывает, что касательные напряжения не приводят к изменению объема и что коэффициент Пуассона не может быть больше 0.5. При  изменения объема не будет.

Удельная потенциальная энергия деформации. В общем случае нагружения тела по граням элемента с размерами ребер  будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела будет равна сумме работ внешних для выделенного элемента нормальных сил , ,  на удлинения ребер параллелепипеда , ,  и касательных сил , ,  на соответствующих им перемещениях  граней элемента (см. рис.2.6):  (2.23).

Рис.2.6

Удельная потенциальная энергия, то есть энергия, накопленная в единице объема элемента, будет равна:  (2.24).

Если выразить компоненты деформаций через компоненты напряжений с помощью уравнений (2.18), (2.19) обобщенного закона Гука, то выражение для  запишется в следующем виде:    Предположим, что напряженное состояние в точке тела задано тензором напряжений: . Представим этот тензор в виде суммы двух тензоров: , где - шаровой тензор и  - девиатор напряжений определяемые формулами:  (2.26);  (2.27), где  - среднее нормальное (гидростатическое) напряжение.

Представление тензора напряжений в виде суммы двух тензоров равносильно представлению данного напряженного состояния в виде суммы двух напряженных состояний.

Удельная потенциальная энергия деформации при всестороннем растяжении с напряжением  определяется из уравнения (2.25):  (2.28) и называется удельной потенциальной энергией изменения объема, так как изменение объема зависит только от суммы нормальных напряжений (см. уравнение (2.22)).

Удельная потенциальная энергия деформации для элемента, по граням которого действуют компоненты девиатора напряжений, определяется после соответствующих преобразований из следующего уравнения  (2.29) и называется удельной потенциальной энергией изменения формы.

Очевидно, что удельная потенциальная энергия изменения формы в случае всестороннего растяжения с компонентами шарового тензора равна нулю. Точно также удельная потенциальная энергия изменения объема для элемента с компонентами девиатора напряжений равна нулю.

 

Теории прочности

Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности. Для определения напряженного состояния в какой-нибудь точке тела, нужно вокруг этой точки выделить элементарный параллелепипед. По граням этого параллелепипеда, в общем случае, будут действовать нормальные и касательные, напряжения. Зная эти напряжения, всегда можно найти главные напряжения и главные площадки. Напряженное состояние в каждой точке тела, в конечном счете, будет определяться тремя главными напряжениями .

Если во всех точках тела будет один и тот же тип напряженного состояния, то будет иметь место однородное напряженное состояние тела. Линейное напряженное состояние называют простым напряженным состоянием, плоское и объемное напряженное состояние - сложным. Тип напряженного состояния нельзя отождествлять с одноименным видом деформации; так при линейном напряженном состоянии могут происходить объемные деформации.

Гипотезы (теории) прочности. Установлено, что в каждой точке нагруженного тела, в общем случае действует три главных напряжения. Опыт показывает, что поведение материалов, т. е. начало стадии пластических деформаций и характер разрушения (хрупкий, вязкий), зависят от величины, знака и соотношения главных напряжений. Поэтому, чтобы судить о прочности материала при сложном напряженном состоянии, нужно предварительно знать - в какой момент при той или иной комбинации главных напряжений наступает опасное состояние материала.

При простом напряженном состоянии ответ на этот вопрос дают диаграммы растяжения или сжатия получаемые при механических испытаниях. Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается, а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации.

При сложном напряженном состоянии решение этой задачи значительно сложнее, т. к. число различных сочетаний из главных напряжений неограниченно велико, а эксперименты при сложном напряженном состоянии технически очень сложны. Вследствие этого при составлении условий прочности материала при сложном напряженном состоянии мы можем располагать только допускаемыми напряжениями, установленными по результатам испытаний на простое растяжение или сжатие. В связи с этим возникает задача: зная максимально допустимые напряжения при простом растяжении, найти эквивалентную, т. е. равно безопасную комбинацию из главных напряжений при сложном напряженном состоянии.

Единственным практическим путем решения этой задачи является установление общих критериев разрушения, которые позволили бы оценить опасность перехода материала в предельное состояние при сложном напряженном состоянии, используя лишь данные опытов на растяжение.

Критерии разрушения или гипотезы прочности представляют собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материалов того или иного фактора, сопутствующего процессу деформации и разрушения материалов.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала, являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

При сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении, а о предельном напряженном состоянии. Под предельным состоянием в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности данной точки из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающееся в образовании трещин.

Условимся рассматривать такие случаи напряженного состояния, когда все нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, вплоть до наступления предельного напряженного состояния, при этом главные напряжения также возрастают пропорционально. Такое нагружение называется простым.

Коэффициентом запаса прочности при сложном напряженном состоянии называется число, на которое следует умножить все компоненты тензора напряжений (или ), чтобы данное напряженное состояние стало предельным.

Равноопасными называются такие напряженные состояния, для которых коэффициенты запаса прочности равны. Это дает возможность сравнивать все напряженные состояния между собой, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (растяжением).

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным рассматриваемому напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:  (2.30).

Условие наступления предельного состояния имеет следующий вид:  или  (2.31).

Критерии разрушения. Критерии разрушения представляют собой меру напряженного состояния, определяющую условия перехода материала в предельное состояние, то есть в состояние разрушения.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочности, Галилей, 1638 г.). В основу теории наибольших нормальных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений. Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из главных напряжений достигает величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении. В этом случае условие прочности должно иметь вид:  или  (2.32). Данная гипотеза удовлетворительно согласуется с результатами испытания деталей из хрупких материалов, таких как камень, кирпич, чугун. Для расчета деталей из пластичных материалов данная гипотеза непригодна.

Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности, Мариотт, 1682 г.) В основу теории наибольших линейных деформаций положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине линейных деформаций.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из относительных удлинений достигает опасной величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении.

Максимальные относительные деформации в соответствии с обобщенным законом Гука (2.18):  (2.32) - при растяжении;  (2.33) - при сжатии.

При простом растяжении предельное значение относительной деформации:  (2.34). На основании сформулированной гипотезы, условие наступления предельного состояния: , или  (2.35).

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (2.31), получим эквивалентное напряжение по II теории прочности:  (2.36). Условие прочности в соответствии с (2.30) имеет следующий вид:  или  (2.37).

Из (2.36), (2.37) вытекает, что простое растяжение более опасно, нежели сложное. Опыты этого не подтверждают. В связи с этим данная теория для расчета деталей не используется.

Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности; Кулон, 1773 год). В основу теории наибольших касательных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине касательных напряжений. Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из касательных напряжений достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии:  (2.38). Предельное значение максимальных касательных напряжений при растяжении:  (2.39). На основании сформулированной гипотезы, имеем:  или условие наступления предельного состояния:  (2.40). Сравнивая с условием наступления предельного состояния (2.31), получим эквивалентное напряжение по III теории прочности:  (2.41).

Условие прочности в соответствии с (2.30) имеет следующий вид:  (2.42).

Условие (2.40) достаточно хорошо описывает начало пластических деформаций для изотропных средне и высокопластичных материалов, поэтому данная теория широко применяется для расчета деталей из металлических материалов.

Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности; Бельтрами - 1885 г.; Губер - 1904 г.). В основу энергетической теории прочности положена гипотеза о преимущественном влиянии удельной потенциальной энергии изменения формы.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы, выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением: .

Предельное значение удельной потенциальной энергии изменения формы при растяжении:  (2.43). На основании сформулированной гипотезы, условие наступления предельного состояния: , или:  (2.44).

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (8.2), получим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:  (2.45).

Условие прочности в соответствии с (8.1) имеет следующий вид:  (2.46).

Четвертая теория прочности, лучше, чем третья, согласуется с результатами испытания изотропных, достаточно пластичных материалов, поэтому она широко применяется при расчете деталей из металлических материалов.

Недостатками III-ей и IV-ой теорий прочности являются их несоответствие результатам разрушения малопластичных и хрупких материалов, кроме того, обе эти теории качественно неверно описывают поведение материалов в напряженных состояниях близких к всестороннему растяжению.

Теория прочности Мора (V теория прочности). Теория прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии присущее, как правило, малопластичным и хрупким материалам. Ее можно получить путем модификации теории наибольших касательных напряжений в соответствии с уравнением:   (2.47).

При одноосном сжатии в предельном случае  и , откуда определяется коэффициент :  - для пластичных материалов или  - для хрупких материалов.

Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:  (2.48).

Очевидно, что достоинством теории прочности Мора является ее большая универсальность, для пластичных материалов дает такие же результаты, как и III-я теория прочности, кроме того, может быть применена для расчета малопластичных и хрупких материалов.