Расчет на прочность по несущей способности

Общие сведения. При расчете прочности элементов сооружения по допускаемым напряжениям допускаемойобычно считается такаянагрузка, при которой наибольшее напряжение (в опасной точке элемента) равно допус­каемому напряжению. При этом допускаемое напря­жение принимается равным пределу текучести ,де­ленному на нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности : .

Величина нагрузки , при которой напряжение в опасной точке элемента равно допускаемому, назы­вается допускаемой нагрузкой,а величина ,при которой напряжение в этой точке равно пределу текучести, -   опасной нагрузкой.

При напряжениях в материале, не превышающих предела пропорциональности, мы считали, что усилия и напряжения в конструкции прямо пропорциональны действующим на нее нагрузкам (исключением является случай продольно-поперечного изгиба). Поэтому коэффициент  яв­ляется коэффициентом запаса не только по напряже­ниям, но и по нагрузкам.

При нагрузке , как правило, еще не происходит полное исчерпание несущей способности конструкции,так как при этой нагрузке напряжения лишь в ограниченной зоне равны пределу текучести; в осталь­ной части конструкции действуют меньшие напряже­ния. Следовательно, несущая способность конструк­ции будет полностью исчерпана при некоторой нагрузке ,превышающей значение , величина  называется предельной нагрузкой.

Расчет по предельным нагрузкам позволяет более полно использовать несущую способность конструк­ций, чем расчет по допускаемым напряжениям, и потому он является более экономичным. Такой способ расчета называют также расчетом по несущей способности, расчетом по предельному состоянию, расчетом по разрушающим нагрузкам. Предельную нагрузку, деленную на нормативный коэффициент запаса прочности , назовем предельно допускаемой нагрузкой и обозначим :   (2.91). Значения нормативного коэффициента запаса для расчета по предельным нагрузкам устанавливаются, как правило, такими, чтобы напряжения во всех точках конструкции при предельно допускаемых нагрузках были меньше предела текучести.

Предельным состоянием или потерей несущей способности конструкции считается такое состояние, при котором относительно малому приращению нагрузки соответствует большое приращение деформации (в пределе неограниченный рост деформации). Таким образом, величина предельной нагрузки является границей, до которой жесткость конструкции достаточна, а после достижения предельной нагрузки жесткость конструкции становится недопустимо малой.  

В большинстве случаев предельно допускаемая нагрузка больше допускаемой нагрузки, подсчитан­ной с тем же значением коэффициента запаса, а в некоторых случаях равна ей, т. е. .

Ниже рассмотрены способы определения предельных нагрузок для простых систем, изготов­ленных из пластичных материалов при действии статической нагрузки. Эти способы неприменимы для конструкций из хрупких материалов и при действии переменных напряжений, которые вызывают хрупкое разрушение материала. При расчете по предельным нагрузкам действительная диаграмма деформации материала заменяется условной диаграм­мой, называемой диаграммой Прандтля. Материал, деформация которого характеризуется диаграммой Прандтля, называется идеальным упругопластическим.

Диаграмма Прандтля основана на предположении, что предел пропорциональности совпадает с преде­лом текучести, а площадка текучести имеет неограни­ченную протяженность (рис. 2.36).

Если после достижения предела текучести на­пряжения (  или ) умень­шают, например, начиная от точки 3 диаграммы (снача­ла путем разгрузки, а по­том путем приложения на­грузки противоположного направления), то материал ведет себя как упругий; ли­нии разгрузки (3 - 4)и нагру жения нагрузкой проти­воположного направления (4 - 5) параллельны линии  (1 - 2)(рис.2.36). После того как напряжения достигают предела текучести (точка 5), дальнейшая деформация происходит при постоянном напряжении (участок 5 – 6).

Рис.2.36

 Такое упрощение реальной диаграммы деформации материала во многих случаях приемлемо, так как у конструкционных материалов с появлением пластических деформаций жесткость резко снижается по сравнению с упругим деформированием.

Растяжение и сжатие стержней. При центральном растяжении или сжатии стержня напряжения  возникают одновременно во всех точках опасного поперечного сечения. Если система, состоящая из стержней, испытывающих центральное сжатие и растяжение, статически определима, то исчерпание несущей способности в одном поперечном сечении одного стержня равносильно потере несущей способности всей системы в целом.

По указанным причинам для таких систем пре­дельно допускаемая нагрузка равна допускаемой т. е. .

При расчете на центральное растяжение и сжатие статически неопределимых стержневых систем, а также при других видах деформации (изгиб, кручение, внецентренное растяжение и т. д.) предельно допус­каемая нагрузка отличается от допускаемой нагрузки .

Рассмотрим систему, состоящую из трех стержней, соединенных внизу общим шарни­ром, и нагруженную силой  (рис. 2.37, а). При увеличении силы  увеличиваются нормальные силы и напряжения в стержнях, при некотором значении силы  напряжения в самом нагруженном из стержней достигают предела текучести. Раскрывая обычными способами статическую неопределимость, легко определить самый нагруженный стержень - . При дальнейшем увеличении силы , напряжение в стержне  остается равным пределу текучести, напряжения в стержнях  и  продолжат расти. Конструкция при этом еще не утрачивает несущей способности. Предельное состояние конструкции (потеря несущей способности) наступит, когда она превратится в пластический механизм, то есть будет деформироваться неограниченно при постоянной нагрузке. Другими словами равновесие между внешней нагрузкой и внутренними силами в элементах конструкции становится невозможным, и конструкция становится геометрически изменяемой. Неограниченная деформация возможна только при идеально упругопластическом материале стержней, в случае реального материала деформации будут конечными, но много большими, чем до потери несущей способности.

Рис.2.37

Для перехода стержневой (ферменной) конструкции в геометрически неизменяемое состояние возможно только когда число пластически деформированных стержней станет на единицу больше числа лишних связей (степени статической неопределимости).

Для определения предельной нагрузки необхо­димо и достаточно установить возможные варианты схем пре­дельного равновесия. Затем для каждого из них найти значение предельной нагрузки . Дейст­вительным значением предельной нагрузки всегда яв­ляется меньшее из подсчитанных для различных возможных вариантов схем предельного состояния системы. Использование этого положения часто (и не только при растяжении и сжатии стержней, но также при их изгибе и других видах деформаций) позволяет наиболее просто определять значения предельных нагрузок.

Предположим, что в предельном состоя­нии напряжения в поперечных сечениях всех трех стержней равны пределу текучести , т. е. усилия в каждом из стержней ,   и   равны   (рис. 2.37, б). Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил (действующих на шарнир D)на горизонтальную ось :

.

Таким образом, при сделанном предположении шарнир не находится в равновесии; следовательно, во всех трех стержнях одновременно напряжения не могут быть равны пределу текучести. Аналогично, равновесие шарнира   невозможно и тогда, когда напряжения в стержнях   и   равны пределу текучести, а в стержне   меньше предела текучести. Следовательно, и такая схема предельного состояния невозможна.

Возможными вариантами схем предельного со­стояния (при которых удовлетворяются условия равно­весия узла ) являются показанные на рис. 2.37_, в, г.

Для варианта, изображенного на рис. 2.37, в, проеци­руя на направление     все силы, действующие на узел ,получаем: ,

откуда .

Для варианта, изображенного на рис. 2.37, г, прое­цируя на направление   все силы, действующие на узел , получаем: ,

откуда .

Наименьшее из полученных значений  определяет действительную предельную нагрузку.

Расчет этой же конструкции по методу допускаемых напряжений дает опасную нагрузку (при которой напряжения в самом нагруженном стержне  достигают предела текучести) , что в 1.24 раза меньше предельной нагрузки.

Отметим без доказательства две важных особенности расчетов по предельной нагрузке.

1. В предварительно нагруженных до предельного состояния или до появле­ния текучести в отдельных их элементах конструкциях напряжения остаются после снятия нагрузки, исключе­нием из этого правила являются статически опреде­лимые системы, когда их элементы испытывают только центральное растяжение или сжатие.

2. Наличие в конструкции начальных напряжений (монтажных, температурных, вызванных осадкой опор, и др.) не влияет на предельную нагруз­ку; аналогично, предельная нагрузка не зависит от наличия в конструкции начальных зазоров (исчезаю­щих при воздействии внешней нагрузки), от податли­вости опорных закреплений.

Эти положение наблюдается не только в системах с элемен­тами, работающими на растяжение и сжатие, но также и в систе­мах с элементами, подвергающимися изгибу,кручению и другим видам деформаций.

Кручение прямого бруса круглого поперечного сечения. При кручении прямого круглого бруса в его поперечных сечениях возникают только касательные напряжения . Эти напряжения распределены вдоль радиуса поперечного сечения по линейному закону: в центре сечения они равны нулю (рис. 2.38, а),а в точках наружного контура достигают наибольшего значения . Такое распределение напряжений будет лишь, когда величина  не превышает предела текучести ма­териала при сдвиге , т. е. когда крутящий момент не превышает величины  (2.92), при сплошном сечении или  (2.93), при кольцевом сечении; здесь   - отношение внутреннего диаметра кольца к наружному.

Рис.2.38

При некотором возрастании крутящего момен­та сверх величины  напряжения, равные пре­делу текучести , возникают не только у наруж­ной поверхности бруса, но и в некоторой зоне поперечного сечения, имеющей форму кольца. Вну­три кольцевой зоны напряжения ниже предела те­кучести, т. е. материал еще находится в упругом состоянии (рис. 2.38, б). С увеличением крутяще­го момента ширина   кольцевой (пластической) зоны возрастает; при некотором предельном значе­нии момента ,соответствующем полному ис­черпанию несущей способности стержня, зона уп­ругого состояния материала исчезает, а зона плас­тического состояния материала занимает всю пло­щадь поперечного сечения. При этом во всех точ­ках сечения напряжения равны пределу текучести  (рис. 2.38, в).

Для определения   выде­лим в поперечном сечении бру­са элементарную площадку ,отстоящую на расстоянии  от центра сечения (рис. 2.38, в). Элементарная касательная сила, действующая на эту площадку в предельном состоянии, равна ,а ее момент относительно центра сечения , откуда ,

где  - пластический полярный момент сопротивления поперечного сечения. Интеграл в последнем выражении несложно вычислить, так для сплошного круглого сечения  (2.94).

Определим величину отношения  для сплошного круглого сечения: . Таким образом, расчет по предельному состоянию позволяет существенно увеличить нагрузку на кон­струкцию.

Если скручиваемый брус является статически определимым, то после снятия нагрузки, вызвавшей в нем моменты , крутящие моменты в поперечных сечениях стержня будут равны нулю. Несмотря на это, стержень будет находиться в напряженном состоянии - аналогично тому, как это имеет место в статически неопределимом растянутом и сжатом стержне. Если же брус является статически неопределимым, то после снятия указан­ной выше нагрузки и крутящие моменты в его поперечных сечениях и напряжения не будут равны нулю.

Изгиб балок. При прямом чистом изгибе бруса в его по­перечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Когда изгибающий момент   мень­ше некоторого значения, эпюра, характеризующая распределение нормальных напряжений вдоль оси   поперечного сечения, перпендикулярной нейтра­льной линии (рис. 2.39, а),имеет вид, показанный на рис. 2.39, б.Наибольшие напряжения при этом равны . По мере увеличения изгибающего момента   нормальные напряжения возрастают, пока наибольшие их значения (в волокнах, наибо­лее удаленных от нейтральной оси) не становят­ся равными пределу текучести (рис. 2.39; в); при этом изгибающий момент равен опасному значению: . Здесь и далее предполагается, что пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы.

Рис.2.39

При увеличении изгибающего момента сверх опасного значения напряжения, равные пределу теку­чести , возникают не только в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии, но и в некоторой зоне поперечного сечения высотой   (рис. 2.39, г); в этой зоне материал находится в пластическом состоянии. В средней части сечения напряжения меньше предела текучести, т. е. материал в этой части находится еще в упругом состоянии. Нейтральная линия, на которой напряжения равны нулю, смещается от того положения, которое она занимала при упругом деформировании.

При дальнейшем увеличении изгибающего мо­мента пластическая зона распространяется в сторону нейтральной линии, а размеры упругой зоны умень­шаются. При некотором предельном значении изгибаю­щего момента , соответствующем полному исчер­панию несущей способности сечения стержня на изгиб, упругая зона исчезает, а зона пластического состояния занимает всю площадь поперечного сече­ния (рис. 2.39, д). При этом в сечении образуется так называемый пластический шарнир (или шарнир те­кучести).

В отличие от идеального шарнира, который не воспринимает момента, в пластическом шарнире действует момент . Пластический шарнир яв­ляется односторонним: он исчезает при действии в сечении момента обратного (по отношению к ) знака.

Для определения предельного изгибающего момента   выделим в части поперечного сече­ния балки, расположенной над нейтральной линией, элементарную площадку   отстоящую на рас­стоянии   от нейтральной линии, а в части, рас­положенной под нейтральной линией, -площадку ,отстоящую на расстоянии   от нейтральной линии (рис. 2._, а). Элементарная нормальная сила, действующая на площадку   в предельном состоянии, равна  а ее момент относительно нейтральной линии равен  аналогично, момент нормальной силы , действующей на площадку ,равен . Оба эти момента имеют одинаковые знаки. Предельный момент равен моменту всех элементарных сил   относительно нейтральной линии:

   (2.94),

где ,  - статические моменты соответственно верхней и нижней частей поперечного сечения относительно нейтральной линии.

Сумму   называют осевым пластическим моментом сопротивления и обозначают :  (2.95).

Следовательно, предельный изгибающий момент  (2.96).

Продольная сила в поперечном сечении при изгибе равна нулю, а потому площадь сжатой зоны сечения равна площади растянутой зоны. Таким образом, нейтральная линия в сечении с пластическим шарниром, делит это попе­речное сечение на две равновеликие по площади части. Поэтому, как правило, при несимметричном поперечном сечении нейтральная линия не проходит в предельном состоянии через центр тяжести сечения.

Определим по формуле (2.96) предельный момент  для стержня прямоугольного сечения высотой  и шириной :  (2.97).

Опасное значение момента , при котором эпюра нормальных напряжений имеет вид, изобра­женный на рис. 2.39, в, для прямоугольного сечения определяется по формуле . Отношение

Для круглого сечения отношение , a для двутаврового .

Изложенная теория изгиба за пределом упругости используется не только в случае чистого изгиба, но и в случае поперечного изгиба; в последнем случае влияние сдвига (от касательных напряжений) не учитывается.

Если изгибаемый брус является статически опре­делимым, то после снятия нагрузки, вызвавшей в нем момент ,изгибающий момент в его поперечном сечении равен нулю. Не­смотря на это, нормаль­ные напряжения в попереч­ном сечении не исчезают.

Для статически определимых балок предельная нагрузка отличается от опасной, рассчитанной по методу допускаемых напряжений в  раз. Для превращения такой балки в геометрически изменяемую конструкцию достаточно, чтобы образовался всего один пластический шарнир. Пластический шарнир возникает в опасном сечении, когда изгибающий момент становится равным .

Вычислим предельную нагрузку для стати­чески неопределимой балки. Рассмотрим в качестве примера один раз статически неопределимую балку постоянного сечения (рис. 2.40, а).Левый конец балки жестко защемлен, а правый конец закреплен шарнирно-подвижно. Пока напряжения в балке не превышают предела пропорциональности и материал балки деформируется упруго, эпюра изгибающих моментов имеет вид показанный на рис. 2.40, б. Максимальный по модулю изгибающий момент равен  и возникает в левом опорном сечении (в жесткой заделке).

При увеличении нагрузки напряжения в сечении с наибольшим по модулю моментом достигнут величины предела текучести, изгибающий

Рис.2.40

момент при этом достигнет опасного значения: . Опасная по методу допускаемых напряжений величина нагрузки  определится из условия: , откуда , или . Здесь снова предполагается, что диаграмма Прандтля при растяжении и сжатии материала балки одинакова.

Увеличение нагру­зки сверх величины  приводит к тому, что в левом опорном сечении изгибающий момент становится равным предельному значе­нию     и в этом сечении появля­ется пластический шарнир. Однако несу­щая способность бал­ки полностью еще не исчерпывается, балка остается геометрически неизменяемой конструкцией. При дальнейшем возрастании нагрузки до некото­рого значения   пластический шарнир появляется также в сечении, где приложена сила .

 В результате появления двух пластических шарниров балка, вначале статически неопределимая, становится гео­метрически изменяемой (превращается в механизм). Такое состояние рассматриваемой балки является предельным и соответствует полному исчерпанию ее несущей способности; дальнейшее увеличение нагруз­ки становится невозможным. Предельное состояние показано на рис. 2.40, в, а соответствующая ему эпюра изгибающих моментов на рис. 2.40, г.

Величину предельной нагрузки  можно установить без исследования работы балки в упругой стадии и выяснения последовательности образования пласти­ческих шарниров.

Рассмотрим условия предельного равновесия для состояния, показанного на рис. 2.40, в. Из условия равновесия всей балки по вертикальной оси , следует . Из условия равновесия левой части балки (от левой опоры до второго пластического шарнира) в виде суммы моментов относительно точки приложения силы : , следует . Из условия равновесия правой части балки (от правой опоры до второго пластического шарнира) в виде суммы моментов относительно точки приложения силы : , следует . Окончательно величина предельной нагрузки , или .

Если принять сечение балки двутавровым и учесть отношение , то отношение , то есть предельная нагрузка на 30% больше опасной (по методу допускаемых напряжений).

Расчет статически неопределимой балки по несущей способности оказы­вается проще, чем расчет по упругой стадии.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3.

3.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.

Задача №1

Для заданной балки (рис.3.1) требуется:

1).Раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры перерезывающей силы  и изгибающего момента .

2).Определить перемещение одного (любого) и угол поворота одного сечения балки, любым методом.

Все расчеты при построении эпюр  и , определении перемещений выполнить в общем виде.

Табл.3.1