Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил.

    Статически неопределимыми стержневыми системами называются такие системы, в которых количество неизвестных превышает число уравнений равновесия. Неизвестными могут являться как внутренние силовые факторы в поперечных сечениях, так и внешние силы - реакции связей (опор).

Степень статической неопределимости. Степенью статической неопределимости системы -  называется разность между количеством неизвестных -  и числом уравнений равновесия - : .

Лишние связи. Числом лишних связей -  называется количество связей наложенных сверх необходимых. Необходимыми называются связи обеспечивающие неподвижность (неизменяемость) системы как твердого тела. Лишние связи могут быть внутренними ограничивающими взаимные относительные смещения точек стержневой системы и внешними ограничивающими абсолютные смещения точек стержневой системы относительно неподвижной системы координат. Общее число лишних связей равно сумме внутренних лишних -  и внешних лишних -  связей: . Примеры статически неопределимых стержневых систем показаны на рис.2.1.

Лишние внутренние связи в стержневых системах появляются только при наличии замкнутого контура. Плоский жесткий (без шарниров) замкнутый контур имеет 3 лишние внутренние связи.

Рис.2.1

Пространственный жесткий замкнутый контур дает 6 лишних внутренних связей. Одиночный шарнир, врезанный в плоский замкнутый контур, устраняет одну лишнюю внутреннюю связь. Одиночным или простым шарниром называется шарнир, соединяющий два стержня. Шарнир, соединяющий более двух стержней, называется кратным (соединяющий 3 стержня – двукратным, 4 стержня – трехкратным и т.д.) и эквивалентен числу шарниров равному его кратности. В плоской раме на рис.2.1 правый (верхний) шарнир является простым, а левый (нижний) шарнир является двукратным.

Цилиндрический шарнир, врезанный в пространственный контур, также устраняет одну лишнюю внутреннюю связь, сферический шарнир устраняет 3 лишние внутренние связи.

Важным для анализа статически неопределимых систем является следующее обстоятельство: степень статической неопределимости стержневой системы равна количеству лишних связей: .

   Методы раскрытия статической неопределимости. Ранее при рассмотрении стержневых систем работающих на растяжение-сжатие рассматривался общий порядок раскрытия статической неопределимости. Однако, более удобными в случае произвольно нагруженных стержневых систем являются формализованные методы в которых дополнительные условия для раскрытия статической неопределимости записаны в виде канонических уравнений. Наибольшее распространение получили два таких метода: метод сил, метод перемещений.

Метод сил. Порядок раскрытия статической неопределимости линейно-упругих стержневых систем по методу сил состоит из нескольких обязательных этапов:

1.Из исходной  - раз статически неопределимой системы формируется основная система. Основная система получается из исходной путем отбрасывания  лишних связей, следовательно, является статически определимой.

Как правило, из исходной, можно получить несколько различных основных систем отбрасывая разные лишние связи. Однако в любом случае основная система должна быть геометрически неизменяемой (то есть неподвижной).

Рис.2.2

2.Из основной системы формируют эквивалентную систему (эквивалентную в том смысле, что она имеет такие же деформации, следовательно, и внутренние силы, как и исходная система). Эквивалентная система получается добавлением сил  по направлению отброшенных лишних связей. Силы  называются лишними неизвестными и являются по существу реакциями отброшенных связей. Пример статически неопределимой плоской рамы со степенью статической неопределимости - (лишних внутренних связей - , лишних внешних связей - )приведен на рис.2.2. Лишние неизвестные, приложенные вместо отброшенных внутренних лишних связей, всегда прикладываются попарно (см. рис.2.2, неизвестные ), так как являются силами взаимодействия двух частей рассматриваемой системы.

3.Величины лишних неизвестных  определяются из условия равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей: . Используя принцип суперпозиции нагрузок и закон Гука можно записать эти условия в виде системыканонических уравнений метода сил:

где: - перемещение по направлению - той отброшенной связи вызванное действием единичной нагрузки приложенной по направлению - той связи (т.е. ); - перемещение по направлению - той отброшенной связи вызванное действием внешней нагрузки, . Систему канонических уравнений удобно записать в матричной форме: , что позволяет использовать для их решения методы линейной алгебры (в т.ч. и с помощью ЭВМ). На основании теоремы Бетти матрица коэффициентов системы канонических уравнений симметрична, то есть: , что позволяет существенно упростить решение задачи в случае систем с большой степенью статической неопределимости.

Коэффициенты системы канонических уравнений можно находить любым способом, но обычно используется энергетический метод в виде интеграла Мора.

   После того как определены неизвестные , вместо исходной статически неопределимой системы можно рассматривать статически определимую эквивалентную систему, перемещения и напряжения, в которой находятся известными методами.