Упругие колебания деформируемых систем

Теория колебаний представляет собой обширный раздел современной физики, особое значение имеет теория колебаний для прикладных задач, встречающихся в инженерной практике, в частности, в вопросах прочности машин и сооружений. Известны случаи, когда строительное сооружение, рассчитанное с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушалось под действием сравнительно небольших периодически действующих сил. Во многих случаях жесткая и весьма прочная конструкция оказывается непригодной при наличии переменных сил, в то время как такая же более легкая, и на первый взгляд менее прочная, конструкция воспринимает эти усилия совершенно безболезненно. Поэтому вопросы колебаний и, вообще, поведения упругих систем под действием переменных нагрузок требуют от конструктора особого внимания.

При изучении колебаний упругие системы принято различать, прежде всего, по числу степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы. Так, например, жесткая масса, связанная с пружиной (рис.2.19), имеет одну степень свободы, поскольку ее положение определяется только одной координатой . Это верно лишь в той мере, в какой имеется возможность пренебречь массой пружины по сравнению с массой колеблющегося груза. В противном случае, система имела бы бесконечное число степеней свободы. Для системы, изображенной на рис.2.20, положение колеблющегося груза в плоскости чертежа определяется тремя независимыми координатами, например двумя координатами центра тяжести и углом поворота массы относительно центра тяжести. Следовательно, система имеет три степени свободы.

Рис.2.19	Рис.2.20

Любое реальное упругое тело имеет бесчисленное множество степеней свободы. Однако приближенно упругие тела можно рассматривать как предельный случай системы, состоящей из большого числа масс, соединенных между собой упругими связями. Число степеней свободы определяется выбором расчетной схемы, то есть степенью приближения модели к  реальному объекту.

При исследовании упругих систем различают собственные и вынужденные колебания. Под собственными колебаниями понимаются колебательные движения, которые совершает система, освобожденная от активного силового воздействия извне, и предоставленная сама себе и движение происходит в результате начального импульса или смещения из равновесного положения, сообщенного системе. Собственные колебания являются затухающими.

Под вынужденными колебаниями понимается движение упругой системы, происходящее под действием изменяющихся внешних сил, называемых возмущающими. Примером вынужденных колебаний является движение, которое совершает упругое основание, если на нем установлен не полностью сбалансированный двигатель. Сила инерции, передающаяся на упругое основание со стороны двигателя, является возмущающей силой. Промежуток времени между двумя последующими максимальными отклонениями упругой системы от положения равновесия называется периодом колебаний и обозначается - . Величина, ему обратная, называется частотой колебаний  и представляет собой число колебаний в единицу времени. Частота измеряется в герцах (Гц) – числом колебаний в одну секунду. В технике в большинстве случаев вместо частоты  используется круговая частота , представляющая собой число колебаний в  секунд:  или . Амплитудой колебаний называется наибольшее смещение упругой системы от положения статического равновесия.

Колебания упругих систем с одной степенью свободы. При составлении уравнений движения будем исходить из принципа Д’Аламбера, который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе могут быть применены уравнения статики, если в число внешних сил включена фиктивная сила инерции, равная произведению массы на ускорение и направленная против ускорения. Этот формальный прием дает особенно ощутимые преимущества при составлении уравнений движения для систем с несколькими степенями свободы.

В таблице 2.1, а также на рис.2.21-2.23 представлены основные характеристики колебаний механических систем с одной степенью свободы. При этом рассматриваются свободные колебания (рис.2.21), свободные колебания с линейным затуханием (рис.2.22) и вынужденные колебания (рис.2.23). На указанных рисунках действуют: сила упругости растянутой пружины – , вес груза – , сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости движения – , сила инерции – , возмущающая сила, изменяющаяся по периодическому закону – .

Во всех трех случаях колебательного движения координата  отсчитывается вниз от положения, соответствующего ненапряженной пружине (без груза). При этом предполагается, что такое же положительное направление имеют скорость и ускорение. Поэтому сила сопротивления (рис.2.21-2.23) и сила инерции направлены вверх. Во всех случаях  представляет собой статическое перемещение, вызванное приложенной массой  к упругой системе. В положении статического равновесия сила упругости растянутой на величину  пружины уравновешивается весом:  (2.62).

Уравнение (2.62) позволяет с учетом преобразований дифференциального уравнения свободных колебаний, выполненных в таблице 2.1, получить уравнение для определения круговой частоты собственных колебаний упругой системы:  (2.63), где  - жесткость упругой системы.

Дифференциальные уравнения в таблице 2.1 составлены для исходной системы координата путем проекции всех сил на вертикальную ось. С целью упрощения решения далее выполнено преобразование системы координат путем сдвига вниз на величину , то есть вводится новая переменная . Решения дифференциальных уравнений, представленные в таблице 2.1,  иллюстрируются рисунком 2.24 для свободных колебаний и рисунком 2.25 для свободных колебаний с учетом сил сопротивления.

Полученные в таблице 2.1 решения позволяют определить амплитуды и сдвиг фаз колебаний путем задания начальных условий.

Табл.2.1