Правила нахождения производных

Производная одной переменной: y= x y’= 1

Производная постоянной величины: y=С y’= 0

Производная суммы функций: y= u+ v y’= u’+ v’

Производная произведения функций: y= u· v y’= u’ v+ v’ u

Производная частного функций:

Производная сложной функции: y= f (u), u= t (x) y’= f’ (u) · t’ (x)

Таблица производных и интегралов

№ п/п	Функция	Производ-ная		Интегралы
1.	x^n	nx^n ^-1		, ,
2.
3.
4.	sin x	cos x
5.	cos x	– sin x
6.	tg x
7.	ctg x
8.	e^x	e^x
9.	a^x	a^x ln a
10.	ln x

 

Тема 17. Приложения дифференциального и интегрального исчисления

Учебные вопросы:

Построение графиков функций с использованием методов дифференциального и интегрального исчисления. Вычисление площади криволинейной трапеции. Понятие дифференциального уравнения. Виды дифференциальных уравнений. Методы решений дифференциальных уравнений.

Рекомендуемая литература:

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. –3-е изд. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.– 479 с.

2. М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике. -4-е изд. –М.: ВЕК Большая медведица, 1997 – 863 с.

Построение графиков функций

  График функции, заданной формулой y = f (x), строится по точкам, которые затем соединяются плавной линией. Для построения графика функции, необходимо исследовать ее по следующей схеме:

1. Найти область определения функции, найти точки разрыва. Для каждого бесконечного разрыва найти односторонние пределы справа и слева, в результате получатся вертикальные асимптоты.

1. Найти пределы функции:

2.  и , если этот предел конечный и равен некоторому постоянному значению с, то находим предел , если это предел равен некоторому постоянному значению d, то прямая y = сx + d будет горизонтальной асимптотой при бесконечном удалении вправо. Аналогично, находим пределы при x ®-¥.

3. Определить вид функции: –

четная (f (– x) = f (x)), нечетная (f (– x) = – f (x)) или общего вида.

4. Найти первую производную функции f ’(x). Определить точки, в которых f ’(x)=0 и знаки производной на промежутках, между этими точками. Если f ’(x)>0, то функция на этом промежутке возрастает, если f ’(x)<0 – функция убывает. Точки, в которых производная меняет знак называются точками экстремума: при изменении знака с “+” на “-“ – точка максимума; с “-” на “+“ – точка минимума.

5. Найти вторую производную функции f ’’(x). Определить точки, в которых f ’’(x)=0 и знаки второй производной на промежутках, между этими точками. Если f ’’(x)>0, то функция на этом промежутке выпукла, если f ’’(x)<0 – функция вогнута. Точки, в которых вторая производная меняет знак называются точками перегиба.

6. Найти область значения функции.

7. Вычислить значения функции в характерных точках, построить график.

Пример 1. Исследовать функцию y = x ³ - 3 x + 1и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Точек разрыва нет.

2. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва.

Наклонных и горизонтальных асимптот также нет, т.к. нет конечных пределов.

3. y (- х) = (- x)³ - 3(- x)+1 = - x ³ + 3 x + 1, т.е. y (- x) ¹ y (x)и y (- x)¹- y (x) – функция является функцией общего вида.

4. y ’ (x) = 3 x ² -3. y ’ (x)=0или 3 x ² - 3=03 x ² = 3 x ₁=-1; x ₂ = 1 – критические точки.

x	(-¥;-1)	-1	(-1;1)	1	(1;+ ¥)
y ’(x)	+	0	–	0	+
y (х)	возрастает	3	убывает	-1	возрастает
Экстремум		max		min

 

5. y ’’(x)=6 x. y ’’(x)=0 или 6 x =0 x =0 – точка перегиба.

x	(-¥;0)	0	(0;+ ¥)
y ’’(x)	–	0	+
y (х)	вогнута	1	выпукла

6. Областью значений является множество всех действительных чисел.

7. Составим таблицу нескольких промежуточных значений:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y (x)= x ^3-3 x +1	-17	-1	3	1	-1	3	19

График функции имеет вид:

17.2. Геометрическое приложение определенного интеграла

Определенный интеграл  численно равен площади фигуры, ограниченной линиями: y= f (x), y= 0, x= a, x= b.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями: 

y = x ² и .

Решение.

Построим графики функций:

Найдем точки пересечения графиков функций:

 Þ   Þ   Þ x ₁ = -2; x ₂ = 2.

Для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, необходимо вычислить разность определенных интегралов на отрезке  [-2;2]:

Дифференциальные уравнения

Уравнение, связывающее независимую переменную x с неизвестной функцией y (x) и ее производными до n -го порядка включительно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция y (x), которая имеет производные до n -го порядка включительно и, будучи подставлена в данное обыкновенное дифференциальное уравнение, обратит его в тождество. Дифференциальное уравнение в общем случае имеет бесконечно много решений. Формула, описывающая все эти решения, называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения. Чтобы из множества решений уравнения выбрать одно (нужное) необходимо задать начальные условия.

Виды дифференциальных уравнений:

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

y ’(x) можно представить как , тогда уравнение примет вид: 

,

где f (x) и g (y) – непрерывные функции. Чтобы решить уравнение необходимо перенести все переменные, зависящие от x в одну часть уравнения, а от y – в другую.

 

,

затем от обеих частей полученного уравнения берется интеграл: , который выражает общее решение уравнения. Частное решение получают определением конкретного значения постоянной интегрирования С путем подстановки в общее решение начального условия.

Пример 3. Найти частное решение уравнения , соответствующее условию y (0)=1.

Решение.

Þ    Þ ydy = xdx

ydy = xdx

y ²= x ²+ C ₁ – общее решение

  

C ₁=1  

 – частное решение

Проверка: ;   Þ

2. Однородное уравнение: M dx + N dy=0.

3. Линейное уравнение: y’ + P (x) y = Q (x).

4. Линейное уравнение второго порядка: y’’+ P (x) y’ + Q (x) y = R (x)

5. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:   y’’+ p y’ + q y = R (x), для решения уравнения необходимо составить характеристическое уравнение: r ² + pr + q =0, найти корни уравнения; решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Существуют и другие виды дифференциальных уравнений, имеющие собственные методы решения. Дифференциальные уравнения можно решать численными методами с помощью средств вычислительной техники.

Контрольные вопросы.

1. Как найти производную от данной функции?

2. Каков геометрический и механический смысл производной?

3. Какая функция называется первообразной функции?

4. Какие типы интегралов Вам известны?

5. Как соотносятся знаки производной и монотонность функции?

6. Какое уравнение называется дифференциальным?

7. Какие задачи можно решить с помощью дифференциальных уравнений?

 

Тема 18. Случайные величины

Учебные вопросы:

Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. Закон распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Характеристики случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение. Интегральная функция распределения. Дифференциальная функция распределения.

Биномиальное распределение. Формула Бернулли. Нормальное распределение.

Рекомендуемая литература:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. –7-е изд. стер. –М.:Высш. шк., 2001. –575 с.

2. Солодовников, А. С. Теория вероятностей: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А. С. Солодовников.– М.: Просвещение, 1978.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В. Е. Гмурман.– 6-е изд., стереотип.– М.: Высш. шк., 1997

Понятие случайной величины

Если результатом испытания является случайное событие, принимающее числовое значение, то говорят о случайной величине.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной. Примеры: число очков, выпавших при бросании игральной кости; число родившихся детей в семье; число шаров, которые можно достать из урны и т. д.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной ве личиной. Примеры: прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого промежутка; прогнозируемая температура воздуха по области и т. д.

Закон распределения дискретной случайной величины

Х	х 1	х 2	…	х n -1	х n
Р	р 1	р 2	…	р n -1	р n

где x ₁, x ₂, …, x_n – случайные величины, соответствующие полной группе событий, т. е. р ₁ + р ₂ + … + р _n = 1.

Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1 000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение.

Согласно закону распределения х принимает значения: х ₁ = 0 – невыигрышный билет, х ₂ = 1 – выигрыш в 1 руб., х ₃ = в 100 руб. и х ₄ = 1 000 руб.

Соответствующие вероятности будут: , где 100 – число выигрышей по 1 руб., а 10 000 – общее количество билетов;

; ; р ₁ = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Закон распределения выигрыша для владельца одного лотерейного билета:

Х	0	1	100	1000
Р	0,9889	0,01	0,001	0,0001

 

При возрастании количества исходов полной группы событий закон распределения становится менее наглядным, и оценить наиболее вероятный исход становится достаточно трудно. Поэтому вводят характеристики случайных величин: математическое ожидание – ожидаемая величина в данном опыте, дисперсия – разброс значений.