Тема 13. Событие и вероятность

Учебные вопросы:

Понятие об испытании. Виды испытаний. Понятие события. Совместные и несовместные события. Противоположные события. Достоверное событие. Невозможное событие. Случайное событие.

Определения вероятности. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Неравновозможность событий. Геометрическое определение вероятности. Бесконечное число исходов.

Рекомендуемая литература:

1. Баврин, И. И. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов хим.-биол. спец. пед. вузов / И. И. Баврин.­– 2-е изд., перераб.– М.: Просвещение, 1993.

2. Солодовников, А. С. Теория вероятностей: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А. С. Солодовников.– М.: Просвещение, 1978.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В. Е. Гмурман.– 6-е изд., стереотип.– М.: Высш. шк., 1997

Понятие о случайном событии

Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Примеры: сдача экзамена, выстрел из винтовки, бросание игрального кубика, педагогический эксперимент.

Результат, исход испытания называется событием. Примеры: успешная сдача экзамена, попадание в цель, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости, получение результата при проведении педагогического экспери­мента.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Примеры: совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное; несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Примеры: если сейчас день, то сейчас не ночь; если человек спит, то в данный момент он не читает; если число иррациональное, то оно не является четным.

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом. Событие называется невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Примеры: если в урне все шары белые, то достать белый шар является достоверным событием, а достать черный шар является невозможным событием; если человек прыгнул в воду, то выйти мокрым является достоверным событием, а выйти сухим является невозможным событием.

Событие называется случайным, если его наступление или ненаступление в некотором испытании (эксперименте) зависит от ряда случайных факторов. Примеры: успешная сдача экзамена; выигрыш в лотерее; рождения мальчика или девочки; всхожесть семян; попадание в цель и т. д.

Определения вероятности

Совокупность образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них. Например, при сдаче зачета возможны следующие исходы: «зачтено», «не зачтено», «не явился»; при подбрасывании монеты – «орел», «решка»; при подбрасывании игральной кости – 1, 2, 3, 4, 5, 6.

События, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Классическое определение вероятности

Вероятностью P(A) события A называется отношение числа элементарных событий m, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий n:

 .

Вероятность достоверного события равна 1.

Вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность случайного события больше 0 и меньше 1.

Пример 1. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Какова вероятность вынуть черный шар, если вынимается один шар?

Решение.

 Пусть событие А – вынуть черный шар, тогда   m = 5 – количество черных шаров,   n = 20 – количество всех шаров.

Пример 2. Студент из 30 вопросов к экзамену усвоил 24. Билет состоит из двух вопросов. Какова вероятность, что он знает оба вопроса, из доставшегося ему билета?

Решение.

Пусть событие А – студент знает оба из доставшихся ему вопросов, тогда m – количество пар вопросов, которые он знает; n – количество всех пар вопросов.

.