Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема 1 6 . Дифференциальное и интегральное исчисление
Учебные вопросы: История возникновения дифференциального и интегрального исчисления. Понятие производной. Дифференциал функции. Первообразная. Понятие интеграла. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Несобственный интеграл. Рекомендуемая литература: 1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. –3-е изд. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.– 479 с. 2.М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике. -4-е изд. –М.: ВЕК Большая медведица, 1997 – 863 с. История возникновения дифференциального и интегрального исчисления Дифференциальное и интегральное исчисление составляет основу математического анализа. Интегральное исчисление – раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, представляющего набор правил для вычисления площадей и объёмов и разработанного математиками Древней Греции. Разработка метода исчерпывания приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед. Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие – измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача – по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти достаточно общие, а, главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления.
В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики. В это же время получили развитие теории дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики. Основоположниками дифференциального и интегрального исчисления являются Исаак Ньютон (1643–1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), работавшие независимо друг от друга. Оба они пришли к одной и той же вычислительной задаче, которая легла в основу дифференциального исчисления. Понятие производной При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y = f (x) получать новую функцию, представляющую скорость изменения функции f (х) относительно изменения аргумента x, которую называют производной данной функции f (x) и обозначают символом: f ’(x). Тот процесс, с помощью которого из данной функции f (x) получают новую функцию f’ (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f (x+ D x) - f (x); 2) составляем отношение: . (1) 3) считая x постоянным, а D x стремящимся к нулю, находим , который обозначаем через f ' (x). Производная есть функция, определяемая для каждого х как предел (если он существует) отношения приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента: . (2) Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение: при стремлении D x к нулю не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.
Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f (x), то величина отношения (1) равна тангенсу угла наклона секущей графика к его оси абсцисс. Если D x стремится к нулю, то точка P стремится к точке М и секущая МР стремится занять положение касательной к f (x)в точке М. Следовательно, значение производной f’ (x)в любой точке х области определения функции равно тангенсу наклона касательной к графику y= f (x) к оси абсцисс в точке с координатами х и f (x). Уравнение касательной в точке М (х 0, y 0) имеет вид: Механический смысл производной. Если пройденный путь есть известная функция s= f (t), то ее производная f’ (t) равна мгновенной скорости движения. Взяв производную по времени от функции f’ (t), получим скорость изменения скорости (т.е. ускорение), которое обозначается f’’ (t) и является второй производной функции пути f (t). Пример 1. По определению производной найти f (x) функции f (x)= x 2. Найти уравнение касательной к данной функции в точке (2;4). Решение.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-07; просмотров: 86; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.17.64 (0.008 с.) |