Первообразная и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f ' (x) данной функции f (x). В интегральном исчислении решается обратная задача: дана функция f (x); требуется найти такую функцию F (x), производная которой равна f (x) в области определения функции f (x), т.е. в этой области функции f (x) и F (x) связаны соотношением

F' (x) = f (x).

Функция F (x) называется первообразной функцией для данной функции f (x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F' (x) = f (x).

 Из дифференциального исчисления известно, что если две функции f (x) и j(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны,    т.е.         если f (x) = j(x) + C, то f ' (x) = j ' (x).

Известно также, что, и наоборот, если две функции f (x) и j (x) имеют одну и ту же производную, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если f ' (x) = j ' (x), то f (x) = j(x) + С.

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F (x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x).

Множество F (x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x), где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x): , где F'(x)= f (x) и С – произвольная постоянная, f (x)называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.

Нахождение первообразной по данной функции f (x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

Определенный интеграл

Пусть на отрезке [ a; b ] задана неотрицательная непрерывная функция f (x). Разделим отрезок [ a; b ] на произвольные n частей: a= x ₀< x ₁< x ₂<…< x_n = b, в результате получим n узких криволинейных трапеций шириной D x_i = x_i - x_i-1, высотой f (x_i), i принимает значения от 1 до n. Площадь каждой из полосок: S_i= f (x_i)×D x_i,. Очевидно, площадь всей криволинейной трапеции:

Увеличим число разбиений n. При этом обязательно уменьшится ширина разбиений, т.е. при n ®¥ D x_i ®0. Получим интегральную сумму, предел которой называется определенным интегралом:

З адача. Найти приращение функции, первообразной для функции f (x), при переходе аргумента x от значения a к значению b.

Решение.

Положим, что интегрированием найдено . Тогда F (x) +C ₁, где С ₁ – любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x). Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b. Получим:

[ F (x) + C ₁ ] _x=b - [ F (x) + C ₁ ] _x=a = F (b) + C ₁ - F (a) - C ₁ = F (b)- F (a).

Как видим, в выражении приращения первообразной функции F (x) +C ₁ отсутствует постоянная величина C ₁. А так как под C ₁ подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F (x) +C, первообразные для данной функции f (x), имеют одно и то же приращение, равное F (b)- F (a).

Приращение первообразных функций F (x) + C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F (b)- F (a), называется определенным интегралом:

Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Предполагается при этом, что подынтегральная функция f (x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям: a £ x £ b.

Свойства определенного интеграла:

1.

2.

3.

4. Аддитивность. Если f (x) интегрируема на отрезках [ a; c ] и [ c,; b ], то она и интегрируема на отрезке [ a; b ], причем:

5. Если f (x) – нечетная функция, т.е. f (- x)= – f (x):

6. Если f (x) – четная функция, т.е. f (- x)= f (x):

7.

8.

9. Теорема о среднем: Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство:

Геометрический смысл теоремы: Площадь криволинейной трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна f (c) значению функции в некоторой точке с, лежащей между а и b.

Пример 2. Найти определенный интеграл: .

Решение.

Несобственный интеграл

 

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции f (x) в пределах от a до +¥ определяется равенством:

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, – расходящимся.

Аналогично,

и        И 

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [ a,b ] и непрерывна при a £ x < с и с < x £ b, то по определению, полагают:

Пример 3. Вычислить несобственные интегралы: ; . Решение.