Тема 14. Свойства вероятности

Учебные вопросы:

Произведение событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Сумма событий. Совместные и несовместные события. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Рекомендуемая литература:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. –7-е изд. стер. –М.:Высш. шк., 2001. –575 с.

2. Солодовников, А. С. Теория вероятностей: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А. С. Солодовников.– М.: Просвещение, 1978.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В. Е. Гмурман.– 6-е изд., стереотип.– М.: Высш. шк., 1997

Произведение событий

Произведением событий А и В называется событие С = А × В, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А исобытие В.

Примеры: пусть А – из урны вытянули извлекли белый шар, В – из урны извлекли вытянули белый шар, то А × В – из урны извлекли вытянули два белых шара; А – идет дождь, В – идет снег, то А × В – дождь со снегом; А – число четное, В – число кратное 3, то А × В – число кратное 6.

Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.

Чаще всего зависимые испытания происходят тогда, когда вынимают извлекают карты из одной колоды, не возвращая карты в колоду, извлекают вытаскивают из одной урны несколько шаров подряд и т. д.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению их вероятностей:

P (A × B) = P (A) × P (B).

Пример 1. В двух урнах по 20 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны извлекают вынимают наугад один шар. Найти вероятность, что оба извлеченных шара белые.

Решение.

Пусть событие А – из первой урны извлекли вынут белый шар, событие В – из второй урны извлекли вынут белый шар, событие А × В – оба вынутых извлеченных шара белые.

  Р (В) = Р (А).

События А и В независимые, т. к. шар, извлеченный из второй урны (событие В), не зависит от того, какой шар был извлечен из первой урны (событие   А). По теореме 1:

P (A × B) = P (A) × P (B) = 0,77 · 0,77 = 0,5929.

Пусть А и В – зависимые. Условной вероятностьюP_A (B) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Пример 2. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен белый шар.

Решение.

Пусть события А – первый вынутый шар белый, событие В – второй вынутый шар белый.

События А и В зависимые, условная вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило (m = 20 – 1 = 19 – осталось белых шаров, n = 26 – 1 = 25 – осталось всего шаров), будет такова:

P_A (B) =

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

P (A × B) = P (A) × P_А (B).

Пример 3. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение.

Пусть событие А – первый вынутый шар белый, событие В – второй вынутый шар белый, событие А × В – оба вынутых шара белые.

P (А) =   P_A (B) =

События А и В зависимые, значит:

P (АB) = P (А) × P_A (B) = 0,77 × 0,76 = 0,5852.

Сумма событий

Суммой событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий – A или B.

Примеры: пусть А – идет дождь, а В – идет снег, то (А + В) – либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; А – студенты пошли на дискотеку; В – студенты пошли в библиотеку, то А + В – студенты пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) + P(B).

Пример 4. В магазин поступили 100 телевизоров «Sony», из них 10 – японской сборки, 20 – корейской и 70 – китайской. Найти вероятность, что купленный наудачу телевизор окажется японской или корейской сборки.

Решение.

Пусть событие А – купленный телевизор японской сборки, событие В – телевизор корейской сборки, а событие А + В – купленный телевизор, который окажется японской или корейской сборки.

 

События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме

P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

 

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и  равна единице:

P (A) + P  = 1.

Вероятность суммы полной группы событий равна 1.

Примеры: если А – число четное, то  – число нечетное; если А – зима, то  – не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А – сдал экзамен, то  – не сдал экзамен.

Пример 5. Решим задачу предыдущего примера другим способом.

Решение.

Пусть событие А – купленный телевизор китайской сборки, тогда – телевизор не китайской сборки.

По следствию изложенной теоремы найдем вероятность противоположного события:   

следовательно,  

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (A × B).

Пример 6. Из колоды в 52 карты наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута крестовая карта или шестерка.

Решение.

Пусть событие А – вынута крестовая карта, событие В – вынута шестерка. События А и B – совместные, т.к. карта может быть и крестовой и шестеркой одновременно, то событие АВ – вынута крестовая шестерка, событие А + В – вынуталибо крестовая карта, либо шестерка, либо крестовая шестерка, т. е. хотя бы одна из карт будет либо крестовой, либо шестеркой.

P (А) =   P (B) =  

P (A × B) = P (A) × P (B) = 0,25 · 0,08 = 0,02

(или P (А × B) = , т.к. в колоде из 52 карт одна крестовая шестерка)

Так как события А и В совместные, то по теореме 3:

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (A × B) = 0,25 + 0,08 – 0,02 = 0,31.

Полная вероятность

Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий B ₁, B ₂ ,…, B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

.

Пример 7. К экзамену по дисциплине «Математика и информатика» преподаватель подготовил 42 задачи, 20 – по теории вероятности, 10 – по комбинаторике, 2 – по теории множеств и 10 – по статистике. Какова вероятность, что студент решит первую же попавшуюся задачу, если он умеет решать 15 видов задач по теории вероятности, 7 – по комбинаторике, все задачи по теории множеств и 3 – по статистике.

Решение.

Событие А – студент решит задачу; В ₁– попалась задача по теории вероятности; В ₂– попалась задача по комбинаторике; В ₃ – попалась задача по теории множеств; В ₄ – попалась задача по статистике;  – вероятность того, что студенту попалась задача по теории вероятности, и он знает, как ее решить.

; ; ;

; ; ; .

Р (А)  = 0,47 · 0,75 + 0,24 · 0,7 + 0,05 · 1 + 0,24 · 0,3 = 

= 0,3525 + 0,168 + 0,05 + 0,072 = 0,6425.

 

Теорема (формула Бейеса). Если существуют n попарно несов­местных событий B ₁, B ₂, …, B_n, образующих полную группу, и известны условные вероятности события А, то можно найти вероятности того, что событие А произошло при условии появления некоторого события В _k по формуле:

.

Пример 8. К экзамену по дисциплине «Математика и информатика» преподаватель подготовил 42 задачи, 20 – по теории вероятности, 10 – по комбинаторике, 2 – по теории множеств и 10 – по статистике. Студент решил задачу. Какова вероятность, что ему попалась задача по комбинаторике, если он умеет решать 15 видов задач по теории вероятности, 7 – по комбинаторике, все задачи по теории множеств и 3 – по статистике.

Решение.

В предыдущем примере мы искали вероятность самого события А. В данном же примере событие А уже произошло и необходимо найти вероятность того, что при этом имела место гипотеза В ₂, т.е. студенту попалась задача по комбинаторике.

В данном случае по формуле Бейеса . Вероятность самого события А, как было получено, равна .

P (B ₂) – вероятность того, что студенту попалась задача по комбинаторике равна  – вероятность того, что студенту попалась задача по комбинаторике, и он знает, как ее решить – . Таким образом, .

Контрольные вопросы

1.Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?

2.Чему равна вероятность произведения несовместных событий?

3.Как связаны между собой формула Бейеса и формула полной вероятности?

4.Образуют ли полную группу событие и ему противоположное событие?

5.Приведите примеры зависимых событий.

6.Какие исходы возможны при наступлении трех совместных событий?

7.В каких случаях применяют формулу Бейеса?

8. В каких случаях применяют формулу полной вероятности?

 

Тема 15. Функция

Учебные вопросы:

Понятие функции. Свойства функции. Предел функции. Определение и вычисление пределов функции. Свойства пределов. Понятие бесконечно малых (больших) величин. Разрыв функции. Односторонние пределы функций. Типы разрывов функций.

Рекомендуемая литература:

1.Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. –3-е изд. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.– 479 с.

2.М.Я. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - 4-е изд. –М.: ВЕК Большая медведица, 1997 – 863 с.

Понятие и свойства функции

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Если каждому элементу x множества Х (x Î X) ставится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y (y Î Y), то говорят, что на множестве Х задана функция y= f (x).

При этом x называется независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, f – закон соответствия, Х – область определения (существования) функции, Y – область значений функции.

Свойства функции:

1. Четность и нечетность. Функция y= f (x) называется четной, если для любых значений x из области определения f (– x) = f (x) и нечетной, если f (– x) = – f (x). В противном случае функция y= f (x) называется функцией общего вида.

2. Монотонность. Функция y= f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

3. Ограниченность. Функция y= f (x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M >0, что | f (x)|£ M для любого x Î X. В противном случае функция называется неограниченной.

4. Периодичность. Функция y= f (x) называется периодической с периодом Т ¹ 0, на промежутке X, если для любых x Î X f (x+Т)= f (x).