Виведення рівняння трьох моментів.

Виділяємо з балки два довільні сусідні прольоти. Наприклад: n і n+1.

Спочатку для кожного прольоту будуємо епюри згинальних моментів від прольотного навантаження і опорних моментів .

Епюри моментів від прольотного навантаження покажемо в загальному вигляді, а їхні площі позначимо через ωn і ωn+1 . Координати центра ваги цих площ Сn і Сn+1 . Позначаємо відстань від центра ваги площ до лівої опори п-го прольоту і до правої опори (n+1)-го прольоту через а_n і _bn+1 .

Відстань а_n і _bn+1 називають плечима площі епюр.

Епюри від опорних моментів кожного прольоту будуть у вигляді трикутників з основами рівними прольотам і з висотами рівними Мn-1 і Мn для лівого прольоту, і Мn і Мn+1 для правого прольоту. Центри ваги цих трикутників знаходяться на відстані 1/3 прольоту від відповідних висот .

Далі будуємо епюри від одиничних моментів Мn=1. Вони будуть також трикутні.

Перемножуємо епюри, тобто площі епюр від зовнішніх навантажень множимо на ординати п одиничних епюр, розташовані проти центрів ваги площ епюр зовнішніх навантажень.

Одержимо рівняння у слідуючому вигляді:

Мn-1*1n+2Мn (1n+1n+1)+Мn+1*1n+1=-6(ωn*аn/ 1n+ ωn +1*bn+1/1n+1)

 

49.

Ліва частина рівняння представляє собою: добуток лівого моменту на лівий проліт, плюс подвоєний добуток середнього моменту на суму лівого та правого прольотів, плюс добуток правого моменту на правий проліт. Права частина: сума добутків лівої площі епюри від прольотного навантаження на частку при діленні лівого плеча на лівий проліт і правої площі епюри від прольотного навантаження на частку при діленні правого плеча на правий проліт .

Застосування рівняння трьох моментів.

Один чи два кінці балки защемлені.

Якщо нерозрізна балка має защемлений кінець, то в такому випадку защемлення замінюють допоміжним прольотом з шарнірними опорами, розташованими на безкінечно малій відстані одна від другої .

Коли складаємо рівняння трьох моментів довжину допоміжного прольоту 1_-1 вважаємо рівною нулю.

Розглядаємо 1-й проліт з лівим защемленим кінцем . Прикладаємо у деякій площі зосереджене навантаження Р і побудуємо для цієї балки епюру згинальних моментів.

 

50.

 

Рівняння трьох моментів має слідуючий вигляд :

М_-1 ℓ_-1 + 2 М₀ (ℓ_-1 + ℓ₁ ) = М₁ ℓ₁ = - 6ωв/ℓ₁

Значення М_-1 і М_{1 ,} ℓ_-1 дорівнюють нулю, тому 2 М₀ ℓ₁ = - 6ωв/ℓ₁ .

 

Один чи два кінці балки мають навантажені консолі.

Розглядаємо нерозрізну балку з правою консоллю.

 

Відкидаємо умовно (подумки) консоль і замінюємо її ( консолі) вплив на частину, яка залишилась, силою Р¹ = Р і парою сил з моментом М₂ = - Р К, прикладених в опорному перерізі.

Рівняння трьох моментів буде мати слідуючий вигляд :

М₀ ℓ₁ + 2 М₁( ℓ₁ + ℓ₂) +М₂ ℓ₂ = - 6(ω₁а₁/ℓ₁ +ω₂ в₂/ℓ₂ ) ;

Оскільки М₂ = - Р К, а М₀ =0 і ω₂ в₂/ℓ₂ = 0, то рівняння трьох моментів буде :

2 М₁( ℓ₁ + ℓ₂) – Р К ℓ₂ = - 6ω₁а₁/ℓ₁;

51.

Визначення згинальних моментів, поперечних сил і опорних реакцій.

Розглядаємо довільний n-й проліт нерозрізної балки , в якому діє довільне зовнішнє навантаження, а на опорах прикладені моменти М_n-1 і М_n , які будемо вважати додатніми.

Беремо довільний переріз на відстані Х від лівої опори.

Згинальний момент в перерізі буде представляти алгебраїчну суму трьох величин :

а) згинальний момент М⁰_х від дії зовнішнього прольотного навантаження ;

б) згинальний момент М_х^{(Мn – 1)} від дії лівого

опорного моменту М_n1;

в) згинальний момент М_х^(Мn) від дії

правого опорного моменту М_n .

Тобто:

Сумарний згинальний момент :

М_х = М⁰_х + М_х^{(Мn – 1)} + М_х^(Мn) = М⁰_х + ( М_n-1 / ℓ_n) (ℓ_n – х) + + ( М_n / ℓ_n )*Х =М_х⁰ + М_n-1 + [( М_n - М_n-1 )/ℓ_n]* х;

Поперечна сила визначається також як сума поперечних сил від трьох перечислених вище силових факторів :

Q_х =Q_х⁰ + Q_х^{(Мn – 1)} + Q_х^(Мn) = Q_х⁰ - М_n-1 /ℓ_n +М_n / ℓ_n = =Q_х⁰ +( М_n - М_n-1 )/ℓ_n ;

При визначенні згинальних моментів і поперечних сил моменти підставляємо з їх знаками.

Визначаємо опорні реакції.

Нехай визначаємо опорну реакцію R_n опори n.

Для цього вирізуємо опору n двома перерізами, які розташовані безкінечно близько до неї зліва і справа і дію сил, розташованих на відкинутих лівій і правій частині балки замінюємо поперечними силами в цих перерізах Q_n^л і Q_n^пр.

З умови рівноваги ΣΥ = 0 маємо :

Q_n^л + R_n - Q_n^пр.= 0

R_n = Q_n^пр - Q_n^л

Опорні реакції в нерозрізних балках визначаються після побудови епюри поперечних сил, з якої і беремо значення Q_n^л і Q_n^пр. з їх знаками.

 

 

52.

 

Тема 9. Підпірні стіни.

Загальні відомості.