Виведення рівняння трьох моментів.

Виділяємо з балки два довільні сусідні прольоти. Наприклад: n і n+1.

Спочатку для кожного прольоту будуємо епюри згинальних моментів від прольотного навантаження і опорних моментів.

Епюри моментів від прольотного навантаження покажемо в загальному вигляді, а їхні площі позначимо через ωn і ωn+1. Координати центра ваги цих площ Сn і Сn+1. Позначаємо відстань від центра ваги площ до лівої опори п-го прольоту і до правої опори (n+1)-го прольоту через а_n і _bn+1.

Відстань а_n і _bn+1 називають плечима площі епюр.

Епюри від опорних моментів кожного прольоту будуть у вигляді трикутників з основами рівними прольотам і з висотами рівними Мn-1 і Мn для лівого прольоту, і Мn і Мn+1 для правого прольоту. Центри ваги цих трикутників знаходяться на відстані 1/3 прольоту від відповідних висот.

Далі будуємо епюри від одиничних моментів Мn=1. Вони будуть також трикутні.

Перемножуємо епюри, тобто площі епюр від зовнішніх навантажень множимо на ординати п одиничних епюр, розташовані проти центрів ваги площ епюр зовнішніх навантажень.

Одержимо рівняння у слідуючому вигляді:

Мn-1*1n+2Мn (1n+1n+1)+Мn+1*1n+1=-6(ωn*аn/ 1n+ ωn +1*bn+1/1n+1)

 

49.

Ліва частина рівняння представляє собою: добуток лівого моменту на лівий проліт, плюс подвоєний добуток середнього моменту на суму лівого та правого прольотів, плюс добуток правого моменту на правий проліт. Права частина: сума добутків лівої площі епюри від прольотного навантаження на частку при діленні лівого плеча на лівий проліт і правої площі епюри від прольотного навантаження на частку при діленні правого плеча на правий проліт.

Застосування рівняння трьох моментів.

Один чи два кінці балки защемлені.

Якщо нерозрізна балка має защемлений кінець, то в такому випадку защемлення замінюють допоміжним прольотом з шарнірними опорами, розташованими на безкінечно малій відстані одна від другої.

Коли складаємо рівняння трьох моментів довжину допоміжного прольоту 1_-1 вважаємо рівною нулю.

Розглядаємо 1-й проліт з лівим защемленим кінцем. Прикладаємо у деякій площі зосереджене навантаження Р і побудуємо для цієї балки епюру згинальних моментів.

 

50.

 

Рівняння трьох моментів має слідуючий вигляд:

М_-1 ℓ_-1 + 2 М₀ (ℓ_-1 + ℓ₁) = М₁ ℓ₁ = - 6ωв/ℓ₁

Значення М_-1 і М_1, ℓ_-1 дорівнюють нулю, тому 2 М₀ ℓ₁ = - 6ωв/ℓ₁ .

 

Один чи два кінці балки мають навантажені консолі.

Розглядаємо нерозрізну балку з правою консоллю.

 

Відкидаємо умовно (подумки) консоль і замінюємо її (консолі) вплив на частину, яка залишилась, силою Р¹ = Р і парою сил з моментом М₂ = - Р К, прикладених в опорному перерізі.

Рівняння трьох моментів буде мати слідуючий вигляд:

М₀ ℓ₁ + 2 М₁(ℓ₁ + ℓ₂) +М₂ ℓ₂ = - 6(ω₁а₁/ℓ₁ +ω₂ в₂/ℓ₂ );

Оскільки М₂ = - Р К, а М₀ =0 і ω₂ в₂/ℓ₂ = 0, то рівняння трьох моментів буде:

2 М₁(ℓ₁ + ℓ₂) – Р К ℓ₂ = - 6ω₁а₁/ℓ₁;

51.

Визначення згинальних моментів, поперечних сил і опорних реакцій.

Розглядаємо довільний n-й проліт нерозрізної балки, в якому діє довільне зовнішнє навантаження, а на опорах прикладені моменти М_n-1 і М_n, які будемо вважати додатніми.

Беремо довільний переріз на відстані Х від лівої опори.

Згинальний момент в перерізі буде представляти алгебраїчну суму трьох величин:

а) згинальний момент М⁰_х від дії зовнішнього прольотного навантаження;

б) згинальний момент М_х^{(Мn – 1)} від дії лівого

опорного моменту М_n1;

в) згинальний момент М_х^(Мn) від дії

правого опорного моменту М_n.

Тобто:

Сумарний згинальний момент:

М_х = М⁰_х + М_х^{(Мn – 1)} + М_х^(Мn) = М⁰_х + (М_n-1 / ℓ_n) (ℓ_n – х) + + (М_n / ℓ_n)*Х =М_х⁰ + М_n-1 + [(М_n - М_n-1 )/ℓ_n]* х;

Поперечна сила визначається також як сума поперечних сил від трьох перечислених вище силових факторів:

Q_х =Q_х⁰ + Q_х^{(Мn – 1)} + Q_х^(Мn) = Q_х⁰ - М_n-1 /ℓ_n +М_n / ℓ_n = =Q_х⁰ +(М_n - М_n-1 )/ℓ_n;

При визначенні згинальних моментів і поперечних сил моменти підставляємо з їх знаками.

Визначаємо опорні реакції.

Нехай визначаємо опорну реакцію R_n опори n.

Для цього вирізуємо опору n двома перерізами, які розташовані безкінечно близько до неї зліва і справа і дію сил, розташованих на відкинутих лівій і правій частині балки замінюємо поперечними силами в цих перерізах Q_n^л і Q_n^пр.

З умови рівноваги ΣΥ = 0 маємо:

Q_n^л + R_n - Q_n^пр.= 0

R_n = Q_n^пр - Q_n^л

Опорні реакції в нерозрізних балках визначаються після побудови епюри поперечних сил, з якої і беремо значення Q_n^л і Q_n^пр. з їх знаками.

 

 

52.

 

Тема 9. Підпірні стіни.

Загальні відомості.