Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения.

Работа в поле тяготения по перемещению тела массой m на расстояние :

где: М – масса Земли R – расстояние от Земли (см. рис.10.3)

 

Знак минус появляется потому, что сила F и перемещение dR в данном случае противоположны по направлению (см. рис.10.3).

Если тело перемещать с расстояния R₁ до R₂, то работа А:

 

.

 

 

Из формулы А вытекает, что работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется начальным и конечным положениями тела.

То есть силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Т.к. работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с обратным знаком, то:

или

При потенциальная энергия П₂ = 0.

Поскольку первая точка выбрана произвольно, потенциальная энергия поля тяготения

Потенциал поля тяготения:

Величина является

энергетической характеристикой поля тяготения и называется

потенциалом поля тяготения.

Потенциал поля тяготени я φ – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля, или

работой поля по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

Взаимосвязь между потенциалом (φ) и напряженностью (g) поля тяготения:

(вытекает из полученного выше)

С другой стороны (dl – элементарное перемещение)

т.е. , откуда

Потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h:

В качестве примера рассмотрим потенциальную энергию тела, находящееся на высоте h относительно Земли:

,

где R₀ – радиус Земли.

Так как и , то, учитывая, что h << R₀, получаем: Таким образом, мы вывели формулу, которую ранее использовали как постулат.

10. Механический принцип относительности Галилея. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца. Следствия из преобразований Лоренца.

Специальная теория относительности (СТО) А. Эйнштейна базируется на двух постулатах:

1. Принцип относительности – во всех ИСО все физические явления протекают оди-наково (обобщения принципа относительности Галилея на все законы природы).

2. Принцип инвариантности скорости света – скорость света в вакууме c не зависит от движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех ИСО (утверждается как опытный факт).

В начале XX в. стало ясно, что уравнения физики должны быть пересмотрены. Стали предприниматься попытки записать уравнения движения и электродинамики так, чтобы они были инвариантны относительно перехода от одной СО к другой.

       Рис. 6.2

Х. Лоренц решил, что если сделать следующие преобразования координат и времени, то уравнения Дж. Максвелла будут инвариантны, т.е. не изменят своей формы (в случае направления скорости  вдоль параллельных осей Ох и О ₁ х ₁:       

,       (6.6)

,           ,   

Покажем относительный характер одновременности событий. Пусть система S ₁ движется со скоростью u относительно системы S, и в начальный момент времени t=0 их начала координат совпадают. Пусть в момент времени t= 0 в ИСО S источник излучает импульс света в направлении оси Ох. Тогда, дойдя до некоторой точки с абсциссой x, свет пройдет расстояние х=ct, а в системе S ₁ – x ₁= сt ₁; поскольку x ₁ ¹ х (так как S ₁ движется относительно S со скоростью = const), то и отсчет времени будет иметь относительный характер в силу относительности понятий «подвижная» и «неподвижная» СО.

В уравнениях (6.6) наблюдается симметрия (уравнения обратимы). Преобразования от S к S ₁ и обратно отличаются знаком перед u, что очевидно, поскольку, если S ₁ движется относительно S со скоростью u, то система S движется относительно S ₁ со скоростью (– u).

Это не означает, что описанное ниже замедление времени является кажущимся явлением. Правильнее говорить не об изменении хода времени в разных СО, а о различии протекания локализованного в пространстве временного процесса. Для того чтобы установить, какие часы отстают, необходимо «движущиеся» и «неподвижные» часы свести вместе. Но для этого необходимо или вернуть «движущиеся» часы, или ускорить «неподвижные». Очевидно, что результаты должны зависеть от характера сближения часов, т.к. ускорение абсолютно. Отстанут те часы, которые будут двигаться ускоренно. Именно этим объясняется меньшее старение близнеца–космонавта, вернувшегося на Землю, по сравнению с другим близнецом – жителем Земли.

Таким образом, преобразования Х. Лоренца удовлетворяют СТО, т.к. все физические явления описываются законами, не меняющимися при преобразованиях.А. Эйнштейн показал, что преобразования (6.6) имеют универсальный характер.

Преобразования Галилея (6.2) являются предельным случаем (6.6) при u <<c (формально в пределе при c ®¥) – в этом заключается суть принципа соответствия (каждая новая теория должна заключать в себе предыдущую в качестве частного случая)

Относительность времени:

а. Если два события ((1) и (2)) происходят одновременно (t ₁₍₁₎= t ₁₍₂₎) в СО S ₁ и x ₁₍₁₎= x ₁₍₂₎ (в одной и той же точке), то и в ИСО S t ₍₁₎= t ₍₂₎, x ₍₁₎= x ₍₂₎ (согласно формуле (6.6)); если же в СО S ₁ (t ₁₍₁₎= t ₁₍₂₎), но x ₁₍₁₎¹ x ₁₍₂₎, то в ИСО S не только x ₍₁₎¹ x ₍₂₎, но и t ₍₁₎¹ t ₍₂₎. Таким образом, события не только пространственно разобщены, но и не одновременны. В теории вероятности события, которые могут произойти одновременно, называют совместными. Для совместных событий как первое может предшествовать второму, так и второе первому в зависимости от координат и скорости u. Несовместными являются события, которые по каким-либо причинам не могут произойти одновременно, например, события, связанные друг с другом причинно-следственной связью, т.е. одно из событий является причиной (основанием) для наступления второго события (следствия), которое ни при каких обстоятельствах не произойдет раньше причины. Совместность/несовместность, причинно-следственные связи учитывают при релятивистском рассмотрении вопроса о том, какое из событий наступит раньше, а какое – позже.

б. Если длительность события (индексы: (1) – начало, (2) – конец события) в ИСО S D t = t ₍₂₎- t ₍₁₎, то в ИСО S ₁ , где b ²= (u / c) ², т.е. в движущейся ИСО S ₁ для того, чтобы событие завершилось, требуется время D t ₁ > D t (время идет медленнее в ИСО, относительно которой точка, где происходит событие, покоится).

Относительность линейных размеров вдоль направления движения (лоренцево сокращение длины). Пусть в движущейся ИСО S ₁ покоится стержень (рис. 6.2) длиной l ₁ = x _{1 к} -х _{1 н} («н» – начало, «к» – конец). Согласно формуле (6.6) , т.е. размеры стержня, измеренные в ИСО, относительно которой он движется, меньше длины, измеренной в ИСО, относительно которой он покоится: l ₁ > l.