Возникновение «шейки» при пластичности

Рассмотрим наглядную модель саморазвивающегося деформирования материала при растяжении с учетом условия несжимаемости (неизменности объема при деформировании). Для пластичности, происходящей за счет локальных сдвигов, гипотеза неизменности объема   выполняется с достаточной точностью. По мере деформирования за счет эффекта Пуассона уменьшается площадь поперечного сечения и локальные, «истинные» напряжения, отнесенные к текущему сечению, возрастают. В какой-то момент этот процесс становится неустойчивым и возникает знакомая любому экспериментатору «шейка», то есть зона интенсивной пластической деформации.

Простейшая модель саморазвивающегося деформирования стержня состоит в следующем. Обозначим начальную и текущую длины стержня как , ; а площади сечения , . Условие несжимаемости состоит в неизменности объема:

.                                                                (4.1)

Под действием силы   Р условное напряжение в расчете на начальное сечение:  а истинное напряжение . При нагружении возникает деформация ε, и длина стержня становится равной . Считая деформацию однородной, из (4.1) получаем следующее выражение для истинного напряжения:

                               (4.2)

растущего с ростом продольной деформации, т.е. с уменьшением текущей площади сечения.

Определяющее уравнение для пластического деформирования в истинных напряжениях можно записать в виде:

,                                                     (4.3)

где  некоторая неубывающая нелинейная функция. В расчете на текущую площадь сечения истинное напряжение растет с ростом деформации. Но в экспериментах учитывается условное напряжение, отнесенное к начальному сечению образца, которое и откладывается на диаграмме . Условное напряжение при растяжении

                                                   (4.4)

сначала растет, а затем начинает снижаться и возникает падающая ветвь диаграммы деформирования (рис. 4.1, а).

а	б

Рис. 4.1. Возникновение неустойчивости деформирования - а и нахождение предельной деформации – б

 

Условием возникновения неустойчивости служит равенство нулю производной от условного напряжения (4.4) по деформации:

                                                     (4.5)

Из (4.5) видно, что производная в точке максимума равна значению функции , отнесенному к . Графическая иллюстрация показана на графике на рис. 4.1, б: слева от начала координат вдоль оси ε откладывается отрезок единичной длины и из его конца проводится касательная к . Точка касания определяет критическую деформацию .

Пример. Примем в качестве (4.3) степенную зависимость

.                                                                  (4.6)

Обычно диаграмма деформирования для металлов сильно нелинейна, поэтому (для удобства запоминания) принимают показатель степени в виде 1/ m, где m можно считать целым числом, например, совершенно условно: для меди m= 5, для алюминия m= 3.

Из условия (4.5), подставляя (4.6), находим:

                                                (4.7)

Критическая деформация оказалась в данной упрощённой постановке зависящей только от показателя нелинейности деформирования. При линейно упругом поведении   эффект неустойчивости деформирования, т.е. возникновения шейки, не проявляется. Такой категорический вывод связан лишь с упрощенностью рассмотренной модели. Неравномерность деформирования возникает и при упругой деформации из-за различных структурных и геометрических неоднородностей. Кроме того, совершенно необязательно считать коэффициент Пуассона, равным 0.5 (условие неизменности объема). Эффект роста истинных напряжений при уменьшении сечения в результате деформирования проявляется всегда, если только это не экзотический материал типа пробки с  

Разрушение при ползучести

Обычно выделяют три стадии ползучести (рис. 4.2): 1 – неустановившаяся, «быстрая» ползучесть, 2 – установившаяся, «линейная» ползучесть и 3 – неустойчивая ползучесть, когда саморазвивающаяся деформация приводит к разрушению. Ситуация напоминает образование шейки при пластичности (раздел 4.1): истинные напряжения даже при постоянной нагрузке растут по мере роста продольной деформации и уменьшения площади поперечного сечения. В конце концов, этот процесс становится неустойчивым, что приводит к быстрому разделению образца на части.

Закон установившейся ползучести можно принять в виде степенной зависимости скорости логарифмической деформации   от истинного напряжения (4.2):

                                                                                (4.8)

Выражая истинное напряжение через логарифмическую деформацию

                                                                            (4.9)

и подставляя (4.9) в (4.8), получим окончательно:

                                                        (4.10)

Из дифференциального уравнения (4.10), связывающего скорость роста деформаций  с её текущим значением, получаем:

, где                                                              (4.11)

и можем оценить время до разрушения, приняв за условие разрушения обращение деформации  в ∞:

.                                                                             (4.12)

Саморазвивающимся ростом деформации из-за роста истинных напряжений объясняется третий, неустойчивый участок на кривых ползучести, и время до разрушения оценивается через параметр n закона ползучести (свойство материала) и начальную скорость ползучести .

На заключительной стадии ползучести, перед окончательным разрушением, происходит очень быстрый рост деформации и истинного напряжения σ _е, поэтому время возникновения лавинообразного роста деформации и время окончательного разрушения будут различаться незначительно по отношению к общему времени процесса ползучести.

Рис. 4.2. Иллюстрация обращения в бесконечность: 1 - скорости деформации при критическом значении е* деформации и 2 – деформации при критическом времени

      

На рис. 4.2 видно, что при длительном деформировании условие возникновения шейки, формально означающее обращение в бесконечность скорости деформации, реализуется при значении времени  близком к критическому времени  обращения в бесконечность самой деформации. С учетом большой длительности общего процесса деформирования время окончательного этапа разрушения можно считать малым, и поэтому вполне обоснованно полагают:  Таким образом, простейшее предположение о неизменности объема при деформировании позволяет оценить критическую деформацию при начале неустойчивого деформирования (раздел 4.1) и критическое время, при котором деформация или скорость деформации обращаются в бесконечность, что соответствует условию окончательного разрушения.