Собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона. Квантование энергии микрочастиц

Гамильтониан (оператор Гамильтона) — оператор , определяющий изменение во времени состояния квантовой системы (ее волновой функции Ψ), то есть вид уравнения Шредингера. Одновременно гамильтониан является оператором полной энергии системы (если потенциальная функция Π не зависит от времени). Согласно определению

                                               ,                                            (1)

причем, для свободной частицы (не находящейся в потенциальном поле) Π ≡ 0.

В этих терминах решение уравнения Шредингера сводится к задаче о собственных значениях и собственных функциях оператора :

                                                            ,                                                         (2)

где, соответственно, ψ — собственная функция, а E — собственное число  для ψ.

Уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора имеет вид

                                                                                   (3)

где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значениях параметра Е равных

                                                                                     (4)

На рис. дана схема энергетических уровней осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. Однако, следует помнить, что в квантовой механике полная энергия не может быть представлена в виде точно определённых кинетической и потенциальной энергий.

Уровни энергии здесь являются эквидистантными — отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние. Наименьше возможное значение энергии равно

                                                           (5)   Это значение называется нулевой энергией. Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по рассеянию света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, указывающему на то, что при абсолютном нуле колебания атомов в решётке не прекращаются.

Квантовомеханический расчет показывает, что для гармонического осциллятора возможны только переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу:

                                                             .                                                         (6)

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора.

 

Поступив похожим образом, для некоторой микрочастицы можно найти решения (2) в виде

                                             ,                                          (7)

где n — целое число. Значения энергии частицы E_n в этом случае также изменяются скачком (квантуются).

Смысл волновой функции

Как показал Борн (1928), волновую функцию следует интерпретировать следующим образом: квадрат модуля Ψ определяет вероятность d w нахождения частицы в элементе объема d V:

                                                 ,                                              (1)

где  — комплексно-сопряженная функция.

Согласно такой интерпретации, нахождение частицы в интервале (−∞,∞) есть достоверное событие:

                                                                                                         (2)

где A — коэффициент нормировки, равный

.

Функция Ψ₁ с таким множителем называется нормированной, и для нее

                                                        .                                                     (3)

§6. Простейшая задача квантовой механики: частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Выражение «бесконечно высокие стенки» означает, что вероятность нахождения частицы вне интервала (0, l) равна нулю, т.е.

                          (1)

По постановке задачи, частица движется в области (0, l). Внутри этой области U =0, а на границах U (0)= U (l)=∞. В случае одномерного движения

,

и, следовательно, уравнение Шредингера имеет вид

                                                   .                                                (2)

Обозначим .                                                                         (3)

Тогда, с учетом обозначений, (2) перепишется в виде

                                                          .                                                       (4)

Это уравнение гармонического осциллятора, и мы знаем его решения:

                                   либо .                               (5)

Возьмем , где A — нормировочный множитель, φ — начальная фаза. Так как стенки непроницаемы, то должно быть . Отсюда получим

                                                                                               (6)

Тогда для энергии частицы будем иметь

                                                                           (7)

Энергия частицы изменяется скачком между ближними уровнями. При этом

                                           .                                       (8)

Для свободной частицы l →∞, E_n →0.

 

График для E_n представлен на рисунке справа.

 

Произведем нормировку полученного решения (5). Согласно условию нормировки

.

Отсюда  ,   . (9)

ψ

Графики ψ и ψ ² (l =10) имеют следующий вид:

x

ψ ^2

n =3

n =2

n =1

x

n =3

n =2

n =1