Дифракция Фраунгофера на щели

Пусть от источника S распространяется сферическая волна. С помощью линзы Л₁ она превращается в плоскую волну, которая падает на щель шириной b. Лучи, дифрагировавшие на щели под углом φ, собираются на экране, находящемся в фокальной плоскости линзы Л₂, в точке P.

Интенсивность дифракционной картины в точке Р экрана определяется интерференцией вторичных волн, исходящих от всех элементарных участков щели и распространяющихся в точку Р в одной и том же направлении φ.

В виду того, что на щель падает плоская волна, фазы колебаний во всех точках щели одинаковы. Интенсивность в точке Р экрана, обусловленная волнами, распространяющимися в направлении φ, будет определяться сдвигом фаз между волнами, исходящими от плоского фронта волны АВ, перпендикулярного направлению распространения волны (см. рис.), либо волнами, исходящими от любой плоскости, параллельной направлению АВ. Сдвиг фаз между волнами, испускаемыми полоской O в центре щели и полоской с координатой х, отсчитанной от центра щели, составляет kx sin φ (рис.) Если щель имеет ширину b и испускает волну с амплитудой E ₀, то полоска с координатой x и шириной d x испускает волну с амплитудой (E ₀/ b)d x. От этой полоски в точку Р экрана в направлении φ придет волна с амплитудой

                                                   .                                                (1)

Множитель iωt, одинаковый для всех волн, приходящих в точку Р экрана, можно опустить, так как при вычислении интенсивности волны в точке Р он исчезнет. Амплитуда результирующего колебания в точке Р, обусловленная наложением вторичных волн, пришедших в точку Р от всей щели, будет равна

                        ,                    (2)

откуда

                                                                                                               (2^*)

где , λ — длина волны, испускаемая источником. Интенсивность волны I = E ² в точке Р экрана будет равна

                                                                                                             (3)

где I ₀ — интенсивность волны, испускаемой щелью в направлении φ =0, когда (sin u / u)=1.

В точке Р будет минимум интенсивности, если sin u =0 или

                         откуда                      (4)

(Это условие дифракционных минимумов темных полос на экране).

Условие дифракционных максимумов найдем, взяв производную oт I (φ) но u и приравняв ее к нулю, что приводит к трансцендентному уравнению tg u = u. Решить ато уравнение можно графически

Согласно рис. прямая y = u пересекает кривые y =tg u примерно в точках с координатой по оси абцисс, равной

                           , а также u = 0 → φ = 0.                        (5)

что позволяет написать приближенное, но достаточно точное решение уравнения tg u = u в виде

                                               .                                            (6)

I

Откуда получим, что условие дифракционных максимумов (светлых полос на экране) имеет вид

   (7)

 

Замечание. Центральный максимум при φ =0 не входит в условие (7).

 

sin φ

Распределение интенсивность на экране при дифракции света на одной щели представлено на рис.

 

 

Дифракционная решетка

Дифракционной решеткой можно считать любое устройство, обеспечивающее пространственную периодическую модуляцию падающей на нее световой волны по амплитуде и фазе. Примером дифракционной решетки является периодическая система N параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками, лежащих в одной плоскости. Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом или постоянной решетки.

Дифракционная решетка обладает способностью разлагать немонохроматической излучение источника в спектр, создавая на экране смещенные относительно друг друга дифракционные картины, соответствующие разным длинам волн излучения источника.

Рассмотрим вначале формирование дифракционной картины для излучения источника с фиксированной длиной волны λ.

 

Пусть на решетку нормально падает плоская монохроматическая волна с длиной волны λ, а дифракционная картина наблюдается на в фокальной плоскости линзы Л. Дифракционная картина на экране представляет собой многолучевую интерференцию когерентных пучков света одинаковой интенсивности, идущих в точку наблюдения Р от всех щелей в направлении φ.

Для расчета интерференционной картины (ИК) обозначим E ₁(φ) амплитуду волны (формула (2) предыдущего §), пришедшей в точку наблюдения Р от первого структурного элемента решетки, амплитуду волны от второго структурного элемента , от третьего —  и т.д, где

                                                                                               (1)

— сдвиг фаз волн, приходящих в точку Р от соседних щелей с расстоянием d между ними.

Полная амплитуда колебаний, создаваемых в точке Р волнами, прихо­дящими в нее от всех N щелей дифракционной решетки, представляется суммой геометрической прогрессии

                                              (2)

Интенсивность волны в точке Р равна , где  — комплексно сопряженная амплитуда. Получаем

                                                   (3)

 

где обозначено

                                         , .                                      (4)

Распределение интенсивности на экране, определяемое формулой (3) представлено на рис.

Замечание. Огибающая дифракционной картины — это интенсивность дифракционной картины от одной щели, умноженная на N ².

sin φ

I (φ)

Из рисунка видно, что в ИК имеются резкие максимумы, называемые главными, между которыми наблюдаются малоинтенсивные максимумы и минимумы, называемые побочными.

Рассмотрим формирование главных максимумов. Они наблюдаются в направлениях, определяемым условием  (но при этом , что приводит к неопределенности вида 0/0≠0). Условие  дает  или

                                                                                         (5)

где k — порядок главного максимума.

Рассмотрим формирование минимумов. Первое условие sin u =0 при u ≠0 приводит к условию главных минимумов, такому же как в случае одной щели

                                                                                        (6)

Второе условие  при  определяет положение побочных минимумов при значениях

                       π, …   (N −1) π;                                                               (7)

                                …   (2 N −1) π;

                                          …   (3 N −1) π;

Подчеркнутые значения кратны N и приводят к условию главных максимумов  или . Эти значения δ должны быть исключены из списка побочных минимумов. Оставшиеся значения можно записать в виде

                                       ,                                   (8)

откуда получаем условие побочных минимумов

                               ,                            (9)

где k — фиксированный порядок главного максимума. Мы допускаем отрицательные значения р = −1, −2, … −(N −1), которые дадут положение побочных минимумов слева от k -го главного максимума.

Из условий главных и побочных максимумов и минимумов следует, что излучению с другой длиной волны λ будет соответствовать другое угловое расположение минимумов и максимумов в дифракционной картине. Это означает, что дифракционная решетка осуществляет разложение немонохроматического излучения источника в спектр.