Пространственная и временная когерентность излучения источника. Время и длина когерентности

Различают пространственную и временную когерентность излучения источника. Пространственная когерентность связана с конечными (неточечными) размерами источника. Онa поводит к уширению интерференционных полос на экране и при некоторой ширине источника D полному исчезно­вению интерференционной картины.

Объясняется пространственная некогерентность следующим образом. Если источник имеет ширину D, то каждая светящаяся полоска источника с координатой x ′ даст на экране свою интерференционную картину. В резyльтaтe различные смещенные относительно друг друга интерференционные картины на экране наложатся, друг на друга, что приведет к размазыванию интерференционных полос, а при некоторой ширине источника D — к полному исчезновению интерференционной картины на экране.

Можно показать, что интерференционная картина на экране исчезнет, если угловая ширина источника, φ = D / l, видимая из центра экрана, больше отношения λ / d:

                                                           .                                                        (1)

Временная когерентность связана со немонохроматичностью излучения источника. Она приводит к уменьшению интенсивности интерференционных полос при удалении от центра интерференционной картины и последующему ее обрыву. Например, при наблюдении интерференционной картины с использованием немонохроматического источника и бипризмы Френеля на экране наблюдается от 6 до 10 полос. При использовании высокомонохроматичного лазерного источника излучения число интерференционных полос на экране достигает нескольких тысяч.

Найдем условие обрыва интерференции из-за немонохроматичности источника, излучающего в интервале длин волн (λ, λ +Δ λ). Положение m -го максимума на экране определяется условием

                                                     .                                                  (2)

где λ = λ ₀/ n — длина волны с показателем преломления n. Отсюда следует, что каждой длине волны λ соответствует своя интерференционная картина. При увеличении λ происходит смещение интерференционой картины тем большее, чем больше порядок интерференции (номер интерференционной полосы) m. В результате может оказаться, что m -ый максимум для длины волны λ +Δ λ наложится на (m +1)-ый максимум для длины волны λ. При этом интерференционное поле между m -ым и (m +1)-ым максимумами для длины волны λ равномерно заполнится интерференционными максимумами из интервала (λ, λ +Δ λ) и экран окажется равномерно освещенным, т.е. ИК оборвется.

Условие обрыва интерференционной картины

                                           .                                        (3)

Откуда согласно (2)

                                                   ,                                                (4)

что дает для порядка интерференции(номера интерференционной полосы), при которой произойдет обрыв ИК

                                                              .                                                          (5)

Условие интерференционных максимумов связано с оптической разностью хода лучей 1 и 2, приходящих в точку наблюдения интерференции на экране условием

                                                                                                                          (6)

Подставляя (5) в (6), найдем оптическую разность хода лучей 1 и 2, при которой происходит исчезновение интерференции на экране

                                                                                                                      (7)

При Δ> L _ког интерференционная картина не наблюдается. Величина  называется длиной (продольной) когерентности, а величина

                                                                                                                    (8)

— временем когерентности. Переформулируем (6) в терминах частоты излучения. Учитывая, что λ = c / ν, получим

                                              или .                                           (9)

Тогда согласно (7)

                                               ,                                         (10)

а согласно (8)

                                               или                                          (11)

Получили связь между временем когерентности τ _ког и шириной частотного интервала Δ ν излучения источника.

Для видимого диапазона (400–700) нм с шириной интервала Δ λ =300 нм при средней длине волны λ =550 нм длина когерентности составляет порядка L _ког=10⁻⁶ м, а время когерентности порядка τ _ког=10⁻¹⁵ с. Длина когернтности лазерного излучения может достигать нескольких километров. Отметим, что время излучения атома имеет порядок 10⁻⁸ c, а длины волновых цугов составляют порядка L = 3 м.

Бипризма Френеля

К схеме Юнга сводится метод получения вторичных источников S ₁ и S ₂ с помощью бипризмы Френеля. Источники S ₁ и S ₂ лежат в одной плоскости с первичным источником S.

Можно показать, что расстояние между источниками S ₁ и S ₂, полученными с помощью бипризмы с преломляющим углом θ  и показателем n равно

                                                           ,                                                       (1)

а ширина интерференционных полос на экране

                                                  .                                               (2)

Интерференционная картина на экране исчезнет при выполнении условия  или при ширине источника, равной , т.е. ширине интерференционной полосы. Получим с учетом (2)

                                                   .                                               (3)

Пример. Если l =0,5 м, а ₀=0,25 м, n =1,5 (стекло), l=6·10⁻⁷ м — длина волны зеленого света, то ширина источника, при которой исчезнет интерференционная картина на экране равна D =0,2 мм.

 

Формулы, полезные в задачах. Если ширина полос Δ x найдена из опыта, то можно рассчитать длину волны:

                                                      .                                                   (4)

Если на экране наблюдается N =2 m _max+1 интерференционных полос, то максимальный порядок интерференции равен (из опыта)

                                                         ,                                                      (5)

а согласно теории —

                                                           .                                                        (6)

Отсюда интервал немонохроматичности источника

                                                     .                                                 (7)

Длина когерентности излучения источника S тогда равна

                                                          ,                                                       (8)

а время когерентности

                                                    .                                                 (9)