Плоские монохроматические волны

Волны вида

                                       (1)

называют плоскими монохроматическими или гармоническими. Здесь:

А — амплитуда волны,  — фаза волны, φ — начальная фаза, x — координата поверхности постоянной фазы Φ = const в момент t,   — фазовая скорость волны, — циклическая частота колебаний в волне, — частота колебаний [Гц], T — период колебаний в волне, — волновое число или постоянная распространения.

Длина волны λ — это путь, проходимый волной за период колебаний:

                                              .                                           (2)

Из (2) можно получить для волнового числа

                                                          .                                                      (3)

Координату x поверхности постоянной фазы можно представить в виде , где — единичный вектор в направлении оси OХ, — радиус-вектор произвольной точки поверхности постоянной фазы. Тогда произведение kx в уравнении волны можно записать в виде скалярного произведения, не зависящего от выбора системы отсчета:

                                                                                                         (4)

где ввели  — волновой вектор.

С учетом этого выражения уравнение плоской волны можно записать в виде

                                             .                                          (5)

Часто для монохроматических волн используют комплексное представление, понимая под волной реальную (вещественную) часть комплексной функции

                                                   (6)

где .

Наряду с комплексным представлением гармонические колебания изображают в виде проекции вектора , вращающегося с угловой скоростью ω, на ось OX. Начальное положение вектора  к оси OX составляет угол φ, а произвольное , где  отнесено к φ. Проецирование вектора на ось OХ и взятие реальной части комплексного числа — эквивалентные операции.

Основные свойства ЭМ-волн

1. ЭМ-волна в среде с ε и μ распространяется с фазовой скоростью

                                         ,                                     (1)

где величина  называется абсолютным показателем преломления среды.

2. Векторы , ,  в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны и образуют правый винт (правую тройку). Это внутреннее свойство ЭМ-волны, не зависящее от выбора системы отсчета. Так как  и  перпендикулярны , то ЭМ-волны поперечны.

3. Мгновенные значения векторов  и  в ЭМ-волне связаны соотношением , откуда с учетом (1) и получим

                              .                           (2a)

Отсюда следует, что поля  и () одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают своих максимальных значений, т.е. колеблются синфазно:

                  .               (2б)

 

4. ЭМ-волны обладают объемной плотностью энергии, мгновенное значение которой с учетом (2а) равно

                      .                 (3a)

C учетом  и того, что средние по времени значения  получим для среднего значения объемной плотности энергии в ЭМ-волне

                                   .                              (3б)

5. Через единицу площади в единицу времени ЭМ-волна переносит энергию

                                         .                                    (4а)

Согласно размерности [S] = Дж/(м²·с) величина S есть плотность потока энергии в волне. Учитывая, что векторы`  и  в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны (4а) можно записать в виде

                                                       .                                                 (4б)

Вектор  называют вектором Пойнтинга (вектором Умова, вектором Умова-Пойнтинга). Он указывает направление переноса энергии в волне. Среднее по времени значение вектора Умова-Пойнтинга называют интенсивностью волны

                                                                           (5a)

С учетом (1) и (2б), (4а)

                           .                               (5б)

6. ЭМ-волна с энергией W обладает импульсом

                                                                                                                         (6a)

Плотность импульса волны (импульс единицы объема волны) равна

                                   ,                              (6б)

где учтено, что S = w × υ и w = S / υ.

7. Волна оказывает на частично отражающую поверхность давление

                                              ,                                          (7)

где  — интенсивность волны, R — коэффициент отражения. Для абсолютно поглощающей поверхности R =0, для зеркала R =1.

8. Согласно Эйнштейну ЭМ-волна есть поток корпускул (фотонов). Энергия W, импульс K и масса волны m по Эйнштейну равны

                                       W = mc ², K = mc = W / c; m = W / c ²= K / c,                                    (8)

где W и K могут быть рассчитаны электродинамически (см. выше). Энергия одного фотона согласно гипотезе Эйнштейна равна ε = hν, где h — постоянная Планка, ν — частота волны.

9. Если источник, испускающий волну частоты ν ₀, и приемник ЭМ-излучения (света) движутся относительно друг друга со скоростью υ, то частота ν  излучения, регистрируемая приемником (детектором) излучения изменяется и равна           ν = ν ₀(1± υ cos α / c).       (9)

Это явление называют эффектом Доплера. Здесь α — угол между направлением скорости источника υ и направлением испускания волны, c — скорость света. Знак «+» — сближение источника и детектора, знак «−» — их удаление друг от друга.