Глава 1. Уравнения Максвелла

Содержание

 

Глава 1. Уравнения Максвелла. 3

§1. Вихревое электрическое поле. 3

§2. Ток смещения. 3

§3. Закон полного тока с учетом тока смещения. 4

§4. Система уравнений Максвелла в интегральной форме. 5

§5. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме. 5

§6. Волновое уравнение. 6

Глава 2. Волны. Поляризация волн. 8

§1. Виды волн. Общие свойства волн. 8

§2. Плоские монохроматические волны.. 9

§3. Основные свойства ЭМ-волн. 10

§4. Поведение ЭМ-волн на границе раздела двух сред. 12

4.1. Общие понятия. 12

4.2. Законы отражения и преломления света. 12

4.3. Угол Брюстера. 13

4.4. Потеря полуволны или изменение фазы на π при отражении. 13

4.5. Полное внутреннее отражение. 13

§5. Линзы.. 14

5.1. Формула толстой линзы.. 14

5.2. Формула тонкой линзы.. 14

§6. Дисперсия света. 15

§7. Поляризация монохроматических волн. 15

§8. Получение света с эллиптической или круговой поляризацией. 16

§9. Двойное лучепреломление.

Способы получения линейно поляризованного света. 17

§10. Закон Малюса. 18

§11. Степень поляризации света. 19

§12. Прохождение светового луча через систему из N поляризаторов с потерями. 19

§13. Построение волновых фронтов о- и е-волн.

Определение направления распространения о- и е-лучей в

одноосных кристаллах по Гюйгенсу. 20

§14. Длина волны и волновое число при переходе волны из вакуума в среду. 21

14.1. Длина волны.. 21

14.2. Волновое число. 21

§15. Фазосдвигающие пластинки. Получение света с произвольной поляризацией. 21

§16. Искусственная анизотропия. 22

§17. Оптически активные вещества. 22

Глава 3. Интерференция волн. 24

§1. Основные понятия. Способы получения когерентных световых пучков. 24

§2. Количественное описание интерференции. Условия минимумов и максимумов. 24

§3. Степень когерентности излучения источника. Интерференция

частично когерентных волн. 26

§4. Опыт Юнга (деление волнового фронта) 26

§5. Пространственная и временная когерентность излучения источника.

Время и длина когерентности. 27

§6. Бипризма Френеля. 29

§7. Интерференция света на тонких пленках. 30

§8. Интерференция света на тонком клине. 31

§9. Интерференция света на плоском сферическом клине (кольца Ньютона) 32

Глава 4. Дифракция волн. 33

§1. Принципы Гюйгенса и Гюйгенса–Френеля. 33

§2. Дифракция волн. Виды дифракции. 33

§3. Дифракция Френеля на круглом отверстии. 33

§4. Зоны Френеля. 34

§5. Дифракция Фраунгофера на щели. 35

§6. Дифракционная решетка. 37

§7. Угловая и линейная дисперсия. Разрешающая способность. 39

Глава 5. Тепловое излучение. 41

§1. Определение теплового излучения. 41

§2. Поглощательная и излучательная способности тела.

Абсолютно черное, белое и серое тела. 41

§3. Энергетические характеристики излучения. 41

§4. Связь между r_νT и r_λT. 42

§5. Законы Стефана-Больцмана и Вина. 42

§6. Закон Кирхгофа. 43

§7. Формула Планка. Доказательство с ее помощью законов

Стефана-Больцмана и Вина. 44

§8. Излучение серых тел. 45

§9. Оптическая пирометрия. Цветовая, яркостная и радиационная температуры.. 45

Глава 6. Элементы релятивистской механики. 47

§1. Релятивистские масса, импульс, энергия. 47

§2. Частицы с нулевой массой покоя — фотоны.. 47

§3. Постулат Эйнштейна о фотонах. 47

§4. Волновые и корпускулярные свойства света и микрочастиц.

Корпускулярно-волновой дуализм.. 48

§5. Внешний и внутренний фотоэффект. 48

§6. Опытные законы внешнего фотоэффекта. 49

§7. Теория фотоэффекта Эйнштейна. 50

§8. Давление света. 51

§9. Рэлеевское и комптоновское рассеяние света. 51

§10. Описание эффекта Комптона. 52

§11. Алгоритм решения задач на эффект Комптона. 53

Глава 7. Волновые свойства микрочастиц. 54

§1. Гипотеза де Бройля. Уравнение волны де Бройля. 54

§2. Интерпретация волновой функции. 54

§3. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. 54

§4. Опытное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыт Дэввисона и Джермера. 56

Глава 8. Уравнение Шредингера. 57

§1. Зависящее от времени уравнение Шредингера. 57

§2. Стационарное уравнение Шредингера. 57

§3. Стандартные условия, налагаемые на волновую функцию.. 58

§4. Собственные значения и собственные функции оператора

Гамильтона. Квантование энергии микрочастиц. 58

§5. Смысл волновой функции. 59

§6. Простейшая задача квантовой механики: частица в потенциальной

яме с бесконечно высокими стенками. 59

 

Ток смещения

Из опытов по размыканию и замыканию электрической цепи, содержащей конденсатор, известно, что переменный или изменяющийся во времени ток через конденсатор протекает, а постоянный ток не протекает.

Так как внутри конденсатора диэлектрик или вакуум, то ток проводимости протекать не может. Для объяснения наличия в цепи с конденсатором переменного тока Максвелл предположил, что внутри конденсатора возникает так называемый ток смещения. Кроме того, он ввел понятие полного тока, который по его предположению равен сумме токов проводимости и смещения

                                           ,                                         (1)

где  и  — плотности токов проводимости и смещения.

Выражение для тока смещения согласно Максвеллу можно найти следующим образом. Ввиду непрерывности линий тока на границе проводник–конденсатор тон проводи­мости I должен переходить в ток смещения: I = I _см. Согласно определению ток проводимости равен I =d q /d t, где на границе проводник–конденсатор q — заряд обкладки конденсатора.

Для нахождения d q /d t окружим обкладку конденсатора произвольной замкнутой поверхностью S и воспользуемся теоремой Гаусса для вектора индукции электрического поля

 

                                                                    ,                                                        (2)

где q — свободный заряд на обкладке конденсатора внутри S. Дифференцируя обе части (2) по t, найдем ток смещения в конденсаторе

                                                .                                     (3)

Учитывая, что

                                                                 ,                                                     (4)

получим, что плотность тока смещения равна скорости изменения индукции электрического поля в конденсаторе:

                                                                                             .                                                                             (5)

Плотность полного тока в области пространства, где существуют токи проводимости и переменное электрическое поле равна

                                                                             .                                                              (6)

Волновое уравнение

Запишем уравнения (6) через векторы  и . С учетом`  получим

                                                                                                       (1)

Умножим обе части левых уравнений (1) векторно на оператор . Получим

                                                           (2)

С учетом формулы векторного анализа «бац минус цаб» преобразуем векторные произведения в формулах (2)

                                                                                               (3)

 

 

и получим

                                                                             (4)

где учтено, что согласно (1) и введен оператор D (дельта)

                                                                                         (5)

С учетом (3) и (4) уравнения (2) можно записать в виде

                                          ,                                          (6)

где

                                                                                                     (7)

Величина

                                                                                                 (8)

называется электродинамической постоянной. Она совпадает со скоростью света в вакууме.

 

Уравнение вида

                                                                                                                 (9)

называется волновым уравнением. Параметр v в этом уравнении есть скорость распространения волны. Функция f = f (x, y, z, t), входящая в волновое уравнение, называется уравнением волны или волновой функцией.

Согласно волновым уравнениям (6) возможно существование электрической и магнитной волн в свободном пространстве с диэлектрической и магнитной проницаемостями ε и μ, и в частности в вакууме, где ε =1 и μ =1. Однако поля  и  в этих волнах не являются независимыми, а связаны уравнениями Максвелла, поэтому в природе существуют только электромагнитные волны, в которых изменяющееся электрическое поле  порождает изменяющееся во времени магнитное поле , и наоборот. Можно показать, что ЭМ-волны являются поперечными, т.е. векторы  и  в ЭМ-волне перпендикулярны направлению распространения волны.

Основные свойства ЭМ-волн

1. ЭМ-волна в среде с ε и μ распространяется с фазовой скоростью

                                         ,                                     (1)

где величина  называется абсолютным показателем преломления среды.

2. Векторы , ,  в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны и образуют правый винт (правую тройку). Это внутреннее свойство ЭМ-волны, не зависящее от выбора системы отсчета. Так как  и  перпендикулярны , то ЭМ-волны поперечны.

3. Мгновенные значения векторов  и  в ЭМ-волне связаны соотношением , откуда с учетом (1) и получим

                              .                           (2a)

Отсюда следует, что поля  и () одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают своих максимальных значений, т.е. колеблются синфазно:

                  .               (2б)

 

4. ЭМ-волны обладают объемной плотностью энергии, мгновенное значение которой с учетом (2а) равно

                      .                 (3a)

C учетом  и того, что средние по времени значения  получим для среднего значения объемной плотности энергии в ЭМ-волне

                                   .                              (3б)

5. Через единицу площади в единицу времени ЭМ-волна переносит энергию

                                         .                                    (4а)

Согласно размерности [S] = Дж/(м²·с) величина S есть плотность потока энергии в волне. Учитывая, что векторы`  и  в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны (4а) можно записать в виде

                                                       .                                                 (4б)

Вектор  называют вектором Пойнтинга (вектором Умова, вектором Умова-Пойнтинга). Он указывает направление переноса энергии в волне. Среднее по времени значение вектора Умова-Пойнтинга называют интенсивностью волны

                                                                           (5a)

С учетом (1) и (2б), (4а)

                           .                               (5б)

6. ЭМ-волна с энергией W обладает импульсом

                                                                                                                         (6a)

Плотность импульса волны (импульс единицы объема волны) равна

                                   ,                              (6б)

где учтено, что S = w × υ и w = S / υ.

7. Волна оказывает на частично отражающую поверхность давление

                                              ,                                          (7)

где  — интенсивность волны, R — коэффициент отражения. Для абсолютно поглощающей поверхности R =0, для зеркала R =1.

8. Согласно Эйнштейну ЭМ-волна есть поток корпускул (фотонов). Энергия W, импульс K и масса волны m по Эйнштейну равны

                                       W = mc ², K = mc = W / c; m = W / c ²= K / c,                                    (8)

где W и K могут быть рассчитаны электродинамически (см. выше). Энергия одного фотона согласно гипотезе Эйнштейна равна ε = hν, где h — постоянная Планка, ν — частота волны.

9. Если источник, испускающий волну частоты ν ₀, и приемник ЭМ-излучения (света) движутся относительно друг друга со скоростью υ, то частота ν  излучения, регистрируемая приемником (детектором) излучения изменяется и равна           ν = ν ₀(1± υ cos α / c).       (9)

Это явление называют эффектом Доплера. Здесь α — угол между направлением скорости источника υ и направлением испускания волны, c — скорость света. Знак «+» — сближение источника и детектора, знак «−» — их удаление друг от друга.

Общие понятия

Абсолютным показателем преломления (изотропной среды) называется величина

                                                       ,                                                    (1)

показывающая во сколько раз скорость света в вакууме превышает скорость света в среде.

Относительным показателем преломления второй среды относительно первой называется величина, численно равная отношению показателя преломления второй среды к показателю первой:

        .                      (2)

Примечание: среды нумеруют по ходу светового луча.

Угол Брюстера

Если для угла падения α ₁ и угла преломления α ₂ справедливо

,

то α ₁ называют углом Брюстера и обозначают α _б.

 

Запишем закон преломления для угла Брюстера:

.

Отсюда получаем уравнение угла Брюстера

                                           .                                       (1)

Можно показать, что при падении луча под углом Брюстера, отраженный луч полностью линейно поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

4.4. Потеря полуволны или изменение фазы на π при отражении

1. При падении волны на оптически более плотную среду n ₂>> n ₁ под углом α ₁< α _б, меньшим угла Брюстера, отраженная волна изменяет свою фазу на π (теряет половину волны λ /2).

2. При падении волны на оптически менее плотную среду n ₂< n ₁ отраженная волна не изменяет свою фазу при любых углах падения.

3. Преломленная волна не изменяет своей фазы по отношению к падающей.

Полное внутреннее отражение

Если луч света идет в среду n ₂> n ₁ (оптически более плотную), то он прижимается к нормали в случае преломления; если n ₂< n ₁ — отклоняется от нее. В последнем случае возможно явление полного внутреннего отражения (ПВО), когда при некотором угле падения  можно получить угол преломления . При углах падения , больших , преломления не будет, а будет существовать только отраженный луч.

Условие на  (предельный угол ПВО)

                          .                      (1)

Явление полного внутреннего отражения используется, например, для передачи светового сигнала по стекловолокну (оптическому кабелю), а также изменении направления движения светового луча с помощью оборотных и поворотных призм.

 

Линзы

5.1. Формула толстой линзы

Формула

называется формулой толстой линзы. Здесь D — оптическая сила, F — фокусное расстояние, — относительный показатель преломления линза–среда, R ₁ и R ₂ — радиусы кривизны линзы (см. рис.)

R ₁ и R ₂ приписывается знак «+» для выпуклых преломляющих поверхностей, и знак «−» — для вогнутых. Для плоских поверхностей условно принимают R = ∞ и 1/ R = 0.

Если D > 0, линзу называют собирающей, если D < 0 — рассеивающей.

 

Формула тонкой линзы

Тонкая линза — линза, толщина которой много меньше ее фокусного расстояния. На чертеже тонкие собирающие линзы изображают                           , а рассеивающие —.

Справедлива формула тонкой линзы:

,

где d, f, F > 0 для действительных величин и < 0 для мнимых величин.

Для собирающей линзы

,

где (+ f) в режиме фото и проектора, (− f) — в режиме лупы (предмет между фокусом и оптическим центром линзы).

Для рассеивающей линзы

.

Увеличением линзы называют отношение

Дисперсия света

Зависимость показателя преломления среды n = n (ω, k) от частоты света ω или его длины волны λ = υ / ν и волнового вектора k называется соответственно временной (ω) и пространственной (k) дисперсией.

Частотную или временную дисперсию волн, проявляющуюся в зависимости показателя преломления среды от частоты света или его длины волны n = n (ω) или n = n (λ) можно наблюдать с помощью стеклянной призмы, разлагающей белый свет в спектр.

Степень поляризации света

Идеальных поляризаторов не бывает, поэтому на выходе 1-го и 2-го поляризаторов будет частично линейно поляризованный свет с примесью естественного света. В этом случае интенсивность света на выходе двух поляризаторов будет изменяться от I _||= I _max до I _^= I _min¹0. Поляризацию света принято характеризовать величиной

                                       ,                                   (1)

которую называют степенью поляризации света. Здесь I _max = I _пол+ I _ест/2, I _min= I _ест/2. Для поляризованного светa P =1, для неполяризованного света P =0, для частично-поляризованного света 0< P <1.

Длина волны

Волновое число

Искусственная анизотропия

Как показывает опыт, если изотропное вещество поместить в электрическое поле либо его деформировать, то в веществе возникает выделенное направление в пространстве (оптическая ось). Это явление называют искусственной анизотропией.

В электрическом поле оптическая ось направлена вдоль поля , а при деформации тела в направлении его растяжения или сжатия вещество с искусственной оптической осью ведет себя также как одноосный кристалл.

§17. Оптически активные вещества

Вещества, поворачивающие плоскость поляризации линейно поляризованного света вокруг направления распространения светового луча, называют оптически активными.

 

При прохождении лучом в таком веществе пути l плоскость поляризации света поворачивается на угол

                                                                                                                           (1)

где α — коэффициент пропорциональности. Например, для кварца α = 21,7 град/мм (для l =590 нм).

 

Многие жидкости (скипидар, раствор сахара в воде) также обладают оптической активностью. Если оптически активная среда — раствор, то полагают , где ρ —  концентрация раствора. Тогда

                                                             .                                                         (2)

Коэффициeнт  называют постоянной вращения. Если вещество поместить в магнитное поле с напряженностью , а луч света направить вдоль направления поля , то вещество также становится оптически активным (эффект Фарадея). В этом случае

                                                             ,                                                          (3)

где α — постоянная вещества.

Глава 3. Интерференция волн

Основные понятия. Способы получения когерентных световых пучков

Интерференция — это явление перераспределения потока электромагнитной энергии в пространстве, возникающее в результате наложения волн, приходящих в данную область пространства от разных источников. Если в области интерференции световых волн поставить экран, то на нем будут наблюдаться светлые и темные области, например полосы.

Интерферировать могут только когерентные волны. Источники называют когерентными, если они имеют одинаковую частоту ω и постоянную во времени разность фаз излучаемых ими волн.

Когерентными могут быть только точечные монохроматические источники. К ним по свойствам близки лазеры. Обычные источники излучения некогерентны, так как немонохроматичны и не являются точечными.

Немонохроматичность излучения обычных источников обусловлена тем, что их излучение создается атомами, испускающими в течение времени порядка τ =10⁻⁸ с волновые цуги длиной L = cτ =3 м. Излучения разных атомов не коррелированы друг с другом.

Однако наблюдать интерференцию волн можно и при использовании обычных источников, если с помощью какого-либо приема создать два или более источников, подобных первичному источнику. Существует два метода получения когерентных световых пучков или волн: метод деления волнового фронта и метод деления амплитуды волны.  В методе деления волнового фронта пучок или волна делится, проходя через близко расположенные щели или отверстия (дифракционная решетка), либо с помощью отражающих и преломляющих препятствий (бизеркало и бипризма Френеля, отражательная дифракционная решетка).

В методе деления амплитуды волны излучение делится на одной или нескольких частично отражающих, частично пропускающих поверхностях. Примером является интерференция лучей, отраженных от тонкой пленки.

 

Точки А, В и С на рис. являются точками деления амплитуды волны.

Бипризма Френеля

К схеме Юнга сводится метод получения вторичных источников S ₁ и S ₂ с помощью бипризмы Френеля. Источники S ₁ и S ₂ лежат в одной плоскости с первичным источником S.

Можно показать, что расстояние между источниками S ₁ и S ₂, полученными с помощью бипризмы с преломляющим углом θ  и показателем n равно

                                                           ,                                                       (1)

а ширина интерференционных полос на экране

                                                  .                                               (2)

Интерференционная картина на экране исчезнет при выполнении условия  или при ширине источника, равной , т.е. ширине интерференционной полосы. Получим с учетом (2)

                                                   .                                               (3)

Пример. Если l =0,5 м, а ₀=0,25 м, n =1,5 (стекло), l=6·10⁻⁷ м — длина волны зеленого света, то ширина источника, при которой исчезнет интерференционная картина на экране равна D =0,2 мм.

 

Формулы, полезные в задачах. Если ширина полос Δ x найдена из опыта, то можно рассчитать длину волны:

                                                      .                                                   (4)

Если на экране наблюдается N =2 m _max+1 интерференционных полос, то максимальный порядок интерференции равен (из опыта)

                                                         ,                                                      (5)

а согласно теории —

                                                           .                                                        (6)

Отсюда интервал немонохроматичности источника

                                                     .                                                 (7)

Длина когерентности излучения источника S тогда равна

                                                          ,                                                       (8)

а время когерентности

                                                    .                                                 (9)

Глава 4. Дифракция волн

Зоны Френеля

Френель предложил простой прием вычисления результата интерференции вторичных волн. приходящих от фронта волны в произвольную точку Р, лежащую на прямой, проходящую через источник S и точку Р.

Рассмотрим идею Френеля на примере сферической волны, испускаемой точечным источником S.

 

Пусть фронт волны от источника S в некоторый момент времени находится на расстоянии a от S и на расстоянии b от точки Р. Разобьем фронт волны на кольцевые зоны так, чтобы расстояние от краев каждой зоны до точки Р отличались на λ /2. При таком построении колебания в соседних зонах сдвинуты по фазе на π, т.е. происходят в противофазе. Если обозначить амплитуды колебаний в зонах E ₁, E ₂,… причем E ₁> E ₂>…, то амплитуда результирующего колебания в точке Р будет равна

                                                     E = E ₁− E ₂+ E ₃− E ₄+…                                                 (1)

Здесь чередование знаков «+» и «−», так как колебания в соседних зонах происходят в противофазе. Представим формулу (1) в виде

                        ,                     (2)

где положено . Получили, что амплитуда колебаний в точке Р, если в нее приходят колебания от всего волнового фронта, равна Е = Е ₁/2, т.е. равна половине амплитуды волны, приходящей в точку Р от первой зоны Френеля.

Если закрыть все четные или нечетные зоны Френеля с помощью специальных пластинок, называемых зонными, то амплитуда колебаний в точке Р увеличится и будет равна

                   .               (3)

Если на пути фронта волны поставить экран с отверстием, который открывал бы конечное четное число зон Френеля, то интенсивность света в точке Р будет равна нулю

                                               (4)

т.е. в этом случае в точке Р будет темное пятно. Если же открыть нечет­ное число зон Френеля, то в точке Р будет светлое пятно:

                               (5)

Для перекрытия зон френеля с помощью экранов или зонных пластине необходимо знать радиусы зон френеля. Согласно рис. получим

      (6)

   (7)

где пренебрегли членами с λ ² и .

Приравнивая (6) и (7), получим

                         (8)

 

Подставляя формулу (8) в (6), найдем радиус m -ой зоны Френеля

                                                         ,                                                     (9)

где m =1,2,3,… — номер зоны Френеля, λ — длина волны, излучения, испускаемого источником. Если фронт водны плоский (a → ∞), то

                                                           .                                                      (10)

При фиксированном радиусе отверстия в экране, поставленом на пути волны число m зон Френеля, открываемых этим отверстием, зависит от расстояний a и b от отверстия до источника S и точки Р.

Дифракционная решетка

Дифракционной решеткой можно считать любое устройство, обеспечивающее пространственную периодическую модуляцию падающей на нее световой волны по амплитуде и фазе. Примером дифракционной решетки является периодическая система N параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками, лежащих в одной плоскости. Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом или постоянной решетки.

Дифракционная решетка обладает способностью разлагать немонохроматической излучение источника в спектр, создавая на экране смещенные относительно друг друга дифракционные картины, соответствующие разным длинам волн излучения источника.

Рассмотрим вначале формирование дифракционной картины для излучения источника с фиксированной длиной волны λ.

 

Пусть на решетку нормально падает плоская монохроматическая волна с длиной волны λ, а дифракционная картина наблюдается на в фокальной плоскости линзы Л. Дифракционная картина на экране представляет собой многолучевую интерференцию когерентных пучков света одинаковой интенсивности, идущих в точку наблюдения Р от всех щелей в направлении φ.

Для расчета интерференционной картины (ИК) обозначим E ₁(φ) амплитуду волны (формула (2) предыдущего §), пришедшей в точку наблюдения Р от первого структурного элемента решетки, амплитуду волны от второго структурного элемента , от третьего —  и т.д, где

                                                                                               (1)

— сдвиг фаз волн, приходящих в точку Р от соседних щелей с расстоянием d между ними.