Законы Стефана-Больцмана и Вина

Тепловое излучение — это ЭМ-излучение, испускаемое веществом за счет его внутренней энергии. ТИ имеет сплошной спектр, т.е. его испускательная способность r_νT или r_λT в зависимости от частоты или длины волны излучения изменяется непрерывно, без скачков.

ТИ — это единственный вид излучения в природе, которое является равновесным, т.е. находится в термодинамическом или тепловом равновесии с излучающим его телом. Тепловое равновесие означает, что излучающее тело и поле излучения имеют одинаковую температуру.

ТИ является изотропным, т.е. вероятности испускания излучения разных длин волн или частот и поляризаций в разных направлениях равновероятны (одинаковы).

Среди излучающих (поглощающих) тел особое место занимают абсолютно черные тела (АЧТ), которые полностью поглощают падающее на него излучение, но не отражают его. Если АЧТ раскалить, то, как показывает опыт, оно будет светить ярче, чем серое тело. Например, если на фарфоровой тарелке нанести рисунок желтой, зеленой и черной краской, а затем тарелку нагреть до высокой температуры, то черный рисунок будет светить ярче, зеленый слабее, и совсем слабо будет светиться желтый рисунок. Примером раскаленного АЧТ является Солнце.

Другим примером АЧТ является полость с малым отверстием и зеркально отражающими внутренними стенками. Внешнее излучение, попав в отверстие, остается внутри полости и практически не выходит из него, т.е. поглощательная способность такой полости равна единице, а это и есть АЧТ. Например, обычное окно в квартире, открытое в солнечный день, не выпускает наружу попавшее внутрь его излучение, и снаружи кажется черным, т.е. ведет себя как АЧТ.

Опыт показывает, что зависимость испускательной способности АЧТ  от длины волны излучения λ имеет вид:

График  имеет максимум. При увеличении температуры тела максимум зависимости  от λ смещается в сторону более коротких длин волн (больших частот), а тело начинает светить ярче. Это обстоятельство отражено в двух опытных законах Вина и законе Стефана–Больцмана.

Первый закон Вина утверждает: положение максимума испускательной способности АЧТ   обратно пропорционально его температуре:

                                                              ,                                                           (1)

где b = 2,9·10⁻³ м·К — первая постоянная Вина.

Второй закон Вина утверждает: максимальная испускательная способность АЧТ пропорциональна пятой степени его температуры:

                                                          ,                                                       (2)

где с = 1,3·10⁻⁵ Вт/м³К⁵— вторая постоянная Вина.

Если вычислить площадь под графиком испускательной способности АЧТ, то мы найдем его энергетическую светимость . Она оказывается пропорциональной четвертой степени температуры АЧТ. Таким образом

                                                    .                                                (3)

Это закон Стефана–Больцмана, σ =5,67·10⁻⁸Вт/м²К⁴ — постоянная Стефана–Больцмана.

 

Закон Кирхгофа

Кирхгофом было доказано следующее свойство тепловых излучателей: отношение испускательной способности тела r _λT к его поглощательной способности a _λT при той же температуре T не зависит от природы из­лучающего тела, для всех тел одинаково и равно испускательной способно­сти АЧТ : . Это основной закон теплового излучения.

Для его доказательства рассмотрим теплоизолированную полость А с малым отверстием, внутри ко­торой находится тело В. Полость А нагрета и обменивается теплом с телом В через поле излучения полости С. В состоянии теплового равновесия тем­пературы полости А, тела В и поля излучения С одинаковы и равны Т. В опыте имеется возможность измерять поток ε _λT излучения, выходящего из отверстия, свойства которого аналогичны свойствам излучения С внутри полости.

Поток излучения ε _λT, падающий от нагретой полости А на тело В поглощается этим телом и отражается, а само тело В излучает энергию.

В состоянии теплового равновесия испущенный телом В поток r _λT и отраженный им поток (1− a _λT) r _λT должны равняться потоку ε _λT теплового излучения полости:

                                          ,                                     (1)

откуда . Это и есть закон Кирхгофа.

При его выводе природа тела В не учитывалась, поэтому он справедлив для любого тела и, в частности, для АЧТ, для которого испускательная способность равна , а поглощательная способность . Имеем:

                                            .                                         (2)

Получили, что отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности равно испускательной способности АЧТ при той же температуре Т. Равенство  говорит о том, что по выходящему из полости потоку излучения ε _λT можно измерить испускательную способность АЧТ .

Формула Планка. Доказательство с ее помощью законов Стефана-Больцмана и Вина

Длительное время различные ученые пытались объяснить закономерности излучения АЧТ и получить аналитический вид функции . При попытке решить задачу было получено много важных законов теплового излучения. Так, в частности, Вин на основе законов термодинамики показал, что испускательная способность АЧТ    является функцией отношения частоты излучения n и его температуры T, совпадающей с температурой АЧТ:

.

Впервые явный вид для функции  был получен Планком (1905). При этом Планк предположил, что ТИ содержит ЗМ-волны различных частот (длин волн) в интервале (0,∞). Волну фиксированной частоты ν называют осциллятором ЭМ-поля. По предположению Планка энергия каждого осциллятора поля частоты ν квантуется, то есть зависит от целочисленного параметра, а значит, изменяется дискретным образом (скачком):

                                                        ,                                                     (1)

где ε ₀(ν) — минимальный квант (порция) энергии, которым может обладать осциллятор поля частоты ν.

На основе этого предположения Планк получил следующее выражение для испускательной способности АЧТ:

                                                  ,                                               (2)

где с = 3·10⁸м/с — скорость света, k = 1,38·10⁻²³ Дж/К — постояннная Больцмана.

В соответствии с теоремой Вина   необходимо положить, что квант энергии осциллятора поля пропорционален его частоте ν:

                                                       ,                                                    (3)

где коэффициент пропорциональности h =6,62·10⁻³⁴Дж·с или  называется постоянной Планка, ω =2 πν — циклическая частота излучения (осциллятора поля). Подставив (3) в формулу (2), получим

                                                                                                    (4)

                                                                          (5)

Для практических расчетов удобно подставить значения постоянных c, k, h и записать формулу Планка в виде

                                                    ,                                                (6)

где a ₁= 3,74·10⁻¹⁶ Вт·м², a ₂ = 1,44·10⁻² м·К.

Полученное выражение для  дает правильное описание закона излучения АЧТ, соответствующее эксперименту. Максимум функции Планка можно найти вычислив производную  и приравняв ее к нулю, что дает

                                                             .                                                         (7)

Это первый закон Вина. Подставив λ = λ _m в выражение для функции Планка, получим

                                                          (8)

Это второй закон Вина. Интегральная энергетическая светимость (площадь под графиком функции Планка) находится интегрированием функции Планка по веем длинам волн. В результате получим(см. учебник):

                                                                                               (9)

Это закон Стефана–Больцмана. Таким образом, формула Планка объясняет все опытные законы излучения АЧТ.

Примечание. В задачах, если речь идет об энергетической светимости тела в малом интервале длин волн , можно считать , и тогда

                                         .                                    (10)

Излучение серых тел

Тело, для которого поглощательная способность 0< a _λT <1 и не зависит от частоты излучения (его длины волны) называют серым. Для серого тела согласно закону Кирхгофа: , где  функция Планка. Тогда интегральная светимость

                        где .                    (1)

Для несерых тел (селективных поглотителей), для которых a _λT зависит от ν или λ, связь  не имеет места, и надо вычислять интеграл:

                                                      .                                                   (2)