Затухающий гармонический осциллятор

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент γ носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

• При малом трении (γ < ω₀) общее решение записывается в виде:

, где — частота свободных колебаний.

• Затухание γ = ω₀ называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

• При сильном же трении γ > ω₀ решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q. По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на π.

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

• Время жизни колебаний, оно же время затухания, оно же время релаксации. τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

τ = 1 / γ

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

• Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону. . Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Вынужденные колебания

Основная статья: Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением — это когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

Литература

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие

Примечания

1. Решение приведённого дифференциального уравнения можно записать с помощью функции синуса:

И это тоже верное решение, поскольку известно общее равенство cos(θ) = sin(π/2 — θ). Используя тригонометрические соотношения, можно записать

и таким образом

a cos(ω t) + b sin(ω t)

также является верным решением при соответствующим образом выбранных постоянных a и b.

2. Максимальное перемещение (то есть, амплитуда), x _max, имеет место, когда cos(ωt + φ) = 1, и таким образом, когда x _max = A. Таким образом, A является амплитудой.
Поскольку

то величина 2π/ ω является периодом T (время, за которое совершается одно полное колебание). Также, поскольку T = 1/ f, ω = 2π f является угловой скоростью.

4. Колебательное движение. @

4.1. Основные характеристики гармонического колебания. @

Колебательным движением называется процесс, при котором система мно­го­кратно от­клоняясь от своего состояния равновесия, ка­ж­дый раз вновь возвраща­ется к нему. Промежуток времени Т, спустя который процесс полностью повторяет­ся, называется пе­риодом колебания.

Колебательные движения широко рас­про­странены в природе и технике. Качание ма­ят­ника часов, вибрация натянутой струны, мор­ские при­ливы-отливы, тепловые колебания ио­нов кристал­лической решетки твердого тела, переменный электрический ток, свет, звук. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различа­ют свободные незатухающие (или собственные) колебания, затухающие колебания, вынужденные ко­ле­бания, автоколе­ба­ния.

Свободные колебания происходят в систе­ме, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения рав­новесия. Простейшим свободным периодическим механическим колебанием является гармониче­ское колебательное движение точки (тела), при котором зависимость смещения из положения равновесия S от времени t описывается уравнениями:

Рис.4.1. Зависимости: а) смещения, б) скорости, в) ускорения гармонического колебания от времени.

или ,

А - амплитуда колебаний или максимальное смещение из положения равновесия, w ₀ - круговая (циклическая) частота, - фаза колебаний в момент времениt, j - начальная фаза колебаний или фаза в момент времени t=0. Такие колебания происходят под действием так называемых квазиупру­гих сил. Квазиупру­гие силы - это силы, имеющие такую же закономерность, как и сила упругости.

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колеба­ния, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер близкий к гармони­ческим; 2) различные периодические процессы можно представить как сложение не­скольких гармонических колебаний.

Через время Т фаза колебания получит приращение и колебательный про­цесс повторяется: , откуда . Число полных колебаний в единицу времени есть частота колебаний n, для нее вытекают соотношения , . Так как значения синуса и косинуса изменяются в пределах от +1 до -1, S при­нимает значения от +А до -А.

4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании. @

Скорость гармонического колебания есть первая производная от смещения S по времени t. Пусть , тогда

. Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на p/2. Так как максимальное значе­ние косинуса равно 1, максимальное значение скорости равно .

Ускорение а гармонического колебания есть первая производная от скорости v по времени t.

. Ускорение сдвинуто по фазе относительно смещения на p. Так как максимальное значе­ние синуса равно 1, то максимальное значение модуля ускорения равно . На рис.4.1. представлены графики зависимостиS, v и a от времени. Для удобства изображения начальная фаза принята равной нулю j=0, т.е. .

Связь ускорения и смещения можно получить, если в формуле для ускорения множитель заменить наS, получим .

Сила, действующая на колеблющуюся матери­альную точку массой m по II за­кону Ньютона равна

, .

Отсюда следует, что сила пропорциональна смеще­нию материальной точки и про­ти­воположна ему по направлению, такую силу называют квазиупругой. Согласно полученному выражению для силы можно сказать, что гармоническое колебание – это колебание, которое происходит при действии на тело квазигармонической силы.

Так как. , то и .

Полученное выражение называют дифференциальным урав­нением гармонических колебаний, с точки зрения математики это линейное однородное дифференциальное урав­нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решениями являются: либо .

Кинетическая энергия материальной точки при гармоническом колебании равна

Потенциальная энергия материальной точки при гармоническом колебании под действием упру­гой силы, согласно ее определению, равна