Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Решение ряда задач значительно облегчается при использовании метода векторных диаграмм.

В основе метода лежит понятие вращающегося вектора.

x₀

О x

Возьмем ось x и из точки О отложим вектор x₀ под углом к оси x. Если привести вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось x будет перемещаться по оси x в пределах от до , при этом координата будет изменяться по закону . Проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора и частотой равной угловой скорости вращения .

Сложение колебаний, происходящих вдоль одной прямой.

Пусть точка совершает два колебания, происходящие вдоль одной прямой с одинаковой частотой, описываемых уравнениями:

Y

A

A₂

A₁

X

x₂ x₁

Представив оба колебания в виде векторов и сложив их по правилу сложения векторов можно получить результирующее колебание. Это вектор, проекция которого на ось X равна сумме проекций исходных колебаний. .

Запишем результирующее колебание в виде

Из рисунка и

Частные случаи сложения колебаний

1) , где n= 0,1,2….

Тогда

A

A₁

A₂

t

2) ; n= 0,1,2…, тогда

A₂

t

-A₁

3) Частоты двух слагаемых колебаний не совпадают друг с другом, но мало отличаются

Тогда слагаемые колебания будут представлены так:

, а их сумма , где

.

Такие колебания называются биениями. Множитель измеряется гораздо медленнее, чем второй множитель. Так как , за время, в течение которого множитель совершает несколько колебаний, почти не изменяется.

Это даёт нам право рассматривать результирующее колебание как гармоническое частоты w, амплитуда которого медленно изменяется по некоторому закону. Такие колебания называются пульсациями.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Допустим, что материальная точка будет совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Если возбудить оба эти колебания, то точка будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз складываемых колебаний. Пусть колебания заданы уравнениями:

(2), которые являются координатами движущейся точки, заданными в параметрической форме. Исключив из этих уравнений параметр t, получим уравнение траектории точки. Сделаем некоторые математические преобразования: , , , .

Развернём cos в уравнение (2) по формуле для косинуса суммы:

, подставим вместо и их значения, получим , после преобразования получим:

. Это уравнение эллипса.

Это уравнение представляет собой общее уравнение траектории материальной точки, совершающей два взаимно перпендикулярных колебания.

Рассмотрим частные случаи:

1) , , тогда , - это прямая проходящая через начало координат.

Y

X

2 ) - это эллипс, если a=b,то это окружность.

Y

X

3) Если частоты колебаний не совпадают, то траектория имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурными Лиссану. Например

Y Y Y

X X X

При , траектории будут иметь вид (см.рис).

5. 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Колебаниями в физике не только называют периодические или почти периодические движения тел, когда колеблющееся тело многократно повторяет одно и то же движение туда и обратно около определенного положения, а придают этому понятию более широкий смысл. Под колебаниями понимают всякий периодический или приблизительно периодический процесс, в котором значение той или иной физической величины повторяется точно или приблизительно точно через равные или приблизительно равные промежутки времени.

Колебаться, или осциллировать, может груз на конце пружины, маятник, струны гитары или фортепиано, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника; колеблются атомы в молекулах, в твердом теле атомы совершают колебания относительно своих фиксированных положений в кристаллической решетке. Пауки обнаруживают попавшую в их сети добычу по дрожанию паутины, дома и мосты дрожат при проезде тяжелых грузовиков. Почти все материальные предметы колеблются после того, как на них подействует импульс силы.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные колебания, автоколебания, параметрические колебания. Свободными, или собственными, называются такие колебания, которые совершает выведенная из положения равновесия или получившая толчок система, будучи предоставлена самой себе. Если колеблющаяся система подвергается в процессе колебаний воздействию внешней периодически меняющейся силы, то она совершает колебания, называемые вынужденными.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Говоря о колебаниях тела в механике, мы подразумеваем повторяющееся движение по одной и той же траектории. Простейшим примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины (пружинный маятник) (рис. 7.1).

Если сдвинуть груз вправо, растягивая пружину, или влево, сжимая ее, то пружина действует на груз с силой, которая стремится вернуть его в положение равновесия; такую силу называют возвращающей. Для нашей системы возвращающая сила прямо пропорциональна расстоянию х, на которое сжимается или растягивается пружина (). Эта сила сообщает грузу ускорение, и груз приходит в положение равновесия. В положении равновесия сила, действующая на груз, уменьшается до нуля, а скорость его в этой точке максимальна. Возвратившись в устойчивое состояние, колебательная система не может сразу остановиться. В механических колебательных системах этому мешает инертность колеблющегося тела. Поэтому груз пройдет положение равновесия и будет двигаться далее, что приведет к сжатию пружины. Сила со стороны пружины в результате ее сжатия замедляет движение груза, и в некоторой точке его скорость будет равна нулю. Затем груз начинает двигаться в противоположном направлении и приходит в точку, откуда он начал движение. Затем весь этот процесс повторяется. Пружина, груз – пример колебательной системы. Расстояние х груза от положения равновесия до точки, в которой в данный момент времени находится груз, называют смещением.

Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, упругая сила ), совершает гармонические колебания. Такую силу называют квазиупругой, а саму систему часто называют гармоническим осциллятором.

Рассмотрим уравнение, описывающее колебания, совершаемые системой в направлении оси X в отсутствие сил трения. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона. Ускорение, а так как , то ускорение можно получить, если два раза взять производную от координаты по времени. Тогда . Так в математике обозначается вторая производная. Теперь уравнение движения осциллятора можно записать в виде:

.

Введем обозначение, тогда уравнение запишется в следующем виде:

,

здесь – ускорение движущейся точки.

Поскольку , – величина, зависящая от свойств системы, совершающей колебания. Решение этого уравнения имеет вид:

(7.1)

где и – произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий. В качестве таковых можно, например, взять значение отклонения и скорости в момент времени. В справедливости (7.1) можно убедиться на простом опыте. Если к колеблющемуся грузу прикрепить карандаш и протягивать под ним с постоянной скоростью лист бумаги, то карандаш вычертит синусоиду.

Таким образом, смещение изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Движение механической системы, находящейся под действием квазиупругой силы, представляет собой гармоническое движение.

На рис. 7.2 приведен график зависимости смещения частицы от времени. По горизонтальной оси отложено время , по вертикальной – смещение x. Так как косинус изменяется от -1 до +1, значения лежат в пределах от до . Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда – постоянная положительная величина. Величина , стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постоянная представляет собой значение фазы в момент и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени.

Поскольку косинус – периодическая функция с периодом , различные состояния частицы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени T, за который фаза колебания получает приращение . Этот промежуток времени называется периодом колебания. Его можно определить из условия:

,

отсюда

.

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний. Очевидно, что частота связана с периодом колебаний соотношением

.

Из определения периода следует, что . Величину называют круговой или циклической частотой. Так как она зависит от свойств самой колеблющейся системы, то ее часто называют собственной частотой колебаний системы.

Примером системы, совершающей гармонические колебания, является математический маятник. Математический маятник – это тело, подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити, находящееся в поле тяжести Земли. Математический маятник представляет идеализированную модель, правильно описывающую реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником. При колебаниях математического маятника периодически изменяется угол отклонения маятника от положения равновесия. Период свободных гармонических колебаний математического маятника равен

,

где – длина нити, g – ускорение свободного падения. Таким образом, период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.